12. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Değişimin Matematiği: Limit ve Süreklilik
Grafik Üzerinden Limit ve Asimptotlar
Bir ilacın kandaki miktarı zamanla azalır, ama hiçbir zaman tam sıfır olmaz; bir fonksiyonun grafiğinde bazı noktalar da "delik" gibi eksik kalır, yine de eğri oraya doğru gider. Limit, bir fonksiyonun bir noktaya ya da sonsuza yaklaşırken nereye gittiğini anlatır. Bu konuda grafik ve tablo okuyarak soldan ve sağdan limiti bulacak, sonsuzdaki davranışı yorumlayacak, yatay ve dikey asimptotları limit diliyle ifade edeceksin.
Kazanımlar
- MAT.12.4.1.a. Bir fonksiyonun grafiği üzerinde x değeri bir a noktasına soldan ve sağdan yaklaşırken y değerlerinin gittiği yeri okur.
- MAT.12.4.1.b. Grafikten elde ettiği bilgiyi yaklaşım tablosuna ve sözel ifadeye dönüştürür; sol limit, sağ limit ve f(a) değerini birbirinden ayırır.
- MAT.12.4.1.c. Sol ve sağ limiti karşılaştırarak limitin var olup olmadığına karar verir ve limitin f(a) değerinden bağımsız olduğunu açıklar.
- MAT.12.4.1.a. x → +∞ ve x → −∞ için fonksiyonun davranışını (üstel, logaritmik ve rasyonel referans grafikleri dâhil) grafikten okur ve sonsuzdaki limiti yazar.
- MAT.12.4.1.c. Yatay asimptotu sonsuzdaki limit, dikey asimptotu ise bir noktada f(x) değerinin sınırsız büyümesi (küçülmesi) olarak ifade eder.
Konu anlatımı
1. Yaklaşmak, ulaşmak değildir
2. Soldan limit, sağdan limit ve limitin varlığı
3. Grafikten ve tablodan okuma: simülasyonda dene
4. Sonsuzdaki davranış ve yatay asimptot
5. Dikey asimptot ve sonsuz limit
6. Çözümlü örnekler
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Limit
- $x$, $a$ noktasına yaklaşırken (ama $a$ olmak zorunda değilken) $f(x)$ değerlerinin yaklaştığı sayı ya da sınırsız büyüme davranışı.
- Soldan (sol) limit
- $x$, $a$'ya $a$'dan küçük değerlerle yaklaşırken $f(x)$'in gittiği değer: $\lim_{x\to a^-}f(x)$.
- Sağdan (sağ) limit
- $x$, $a$'ya $a$'dan büyük değerlerle yaklaşırken $f(x)$'in gittiği değer: $\lim_{x\to a^+}f(x)$.
- Limitin varlığı
- Sol limit ile sağ limitin eşit olması. Farklıysa limit yoktur.
- Sonsuzda limit
- $x\to+\infty$ ya da $x\to-\infty$ iken $f(x)$'in davranışı; bir $L$ sayısına yaklaşabilir ya da sınırsız büyüyüp küçülebilir.
- Yatay asimptot
- $x\to\pm\infty$ iken $f(x)\to L$ ise grafiğin yaklaştığı $y=L$ doğrusu.
- Dikey asimptot
- $x\to a$ iken $|f(x)|$ sınırsız büyüyorsa grafiğin yaklaştığı $x=a$ doğrusu.
- Tanımsızlık
- Bir noktada fonksiyon değerinin bulunmaması (örneğin payda 0); limitin olup olmadığından bağımsızdır.
Örnek soru
Bir $f$ fonksiyonunun grafiğinde $x=2$ doğrusu üzerinde dolu bir nokta $(2,\,5)$ vardır. Eğri, $x$ değeri 2'ye soldan ya da sağdan yaklaşırken $y=3$ yüksekliğine gitmekte ve $(2,\,3)$ noktasında içi boş bir daire bulunmaktadır.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- $\lim_{x\to2} f(x) = 3$ ve $f(2) = 5$
- $\lim_{x\to2} f(x) = 5$ ve $f(2) = 3$
- $\lim_{x\to2} f(x) = f(2) = 3$
- $\lim_{x\to2} f(x) = f(2) = 5$
- $\lim_{x\to2} f(x)$ yoktur
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Limit, eğrinin yaklaştığı yerdir: boş daire $(2,\,3)$ olduğundan iki taraftan da $y=3$ değerine gidilir, $\lim_{x\to2} f(x) = 3$.
2. $f(2)$, $x=2$ üzerindeki dolu noktanın yüksekliğidir: $f(2)=5$.
3. İkisi farklı olabilir; limit $f(a)$'dan bağımsızdır.
Doğru cevap: A. B şıkkı limit ile f(2)'nin rollerini ters çevirir.