12. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Geometrik Şekiller
Çember ve Daire Problemleri
Bir bisikletin tekerleği kaç tur atınca yolu bitirir? Bir kare tablayı kesmeden en büyük yuvarlak tabak hangisidir? Yan yana dizilmiş boruları saran bir bandın uzunluğu ne kadardır? Bu tür sorular çember ve daire bilgisini çokgenlerle birleştirir. Bu konuda çemberin uzunluğunu, yayı, dairenin ve dilimin alanını; kiriş, teğet ve açı özellikleriyle birlikte çokgenlere uygulayacak, problemi bileşenlerine ayırıp strateji kuracak, çözümünü kontrol edip stratejinin hangi başka problemlere uyarlanabileceğini değerlendireceksin.
Kazanımlar
- MAT.12.2.3.a. Çember ve daire problemlerinin bileşenlerini (nicelik, şekil) ayırır ve aralarındaki ilişkileri belirler.
- MAT.12.2.3.c. Çevre, yay uzunluğu, daire ve daire dilimi alanı ile kiriş ve teğet özelliklerini birlikte kullanarak çokgen-çember problemlerini çözer.
- MAT.12.2.3.d. Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapını teğet parçalarının eşitliğinden ve alan ile yarı çevre ilişkisinden iki yolla bulur.
- MAT.12.2.3.e. Düzgün çokgenin çevrel ve iç teğet çemberleri arasındaki halkanın alanını ve birbirine teğet çemberleri saran ipin uzunluğunu hesaplar.
- MAT.12.2.3.f. Çözümünü başka bir yolla kontrol eder; hatalı stratejiyi değiştirir ve işe yarayan stratejinin hangi problemlere uyarlanabileceğine yönelik çıkarım yapar.
Konu anlatımı
1. Önce ne biliyoruz? Temel formüller
2. Problemi bileşenlerine ayırmak: çözüm stratejisi
3. Düzgün çokgenle çember
4. Dik üçgende iç teğet çember
5. Çemberlere ip dolamak
6. Daire parçaları ve karma alanlar
7. Sık yapılan hatalar ve çözümü gözden geçirme
Anahtar terimler
- Yay uzunluğu
- Merkez açısı $\alpha$ olan yayın uzunluğu: $2\pi r \cdot \alpha/360$.
- Daire dilimi
- İki yarıçap ve bir yayla sınırlı bölge; alanı $\pi r^2 \cdot \alpha/360$.
- Daire kesmesi
- Bir kiriş ile yay arasında kalan bölge; dilimden üçgen çıkarılarak bulunur.
- Çevrel çember
- Çokgenin bütün köşelerinden geçen çember.
- İç teğet çember
- Çokgenin bütün kenarlarına içten teğet olan çember.
- Halka
- İç içe iki eş merkezli çember arasında kalan bölge; alanı $\pi(R^2 - \rho^2)$.
- Yarı çevre
- Çokgenin çevresinin yarısı ($u$); iç teğet çemberli çokgende alan $u \cdot r$.
- Teğet parçaları
- Bir köşeden iç teğet çembere çizilen iki teğetin köşe ile değme noktası arasındaki eşit uzunluklu parçalar.
Örnek soru
Kenarı $8$ cm olan bir karenin içine çizilebilecek en büyük çemberin alanı ile karenin çevrel çemberinin alanı arasındaki fark kaç cm²'dir?
- $8\pi$
- $12\pi$
- $24\pi$
- $16\pi$
- $32\pi$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. İç teğet çemberin çapı kenara eşittir: $r = 4$, alan $16\pi$.
2. Çevrel çemberin çapı köşegendir: $2R = 8\sqrt{2}$, $R^2 = 32$, alan $32\pi$.
3. Fark: $32\pi - 16\pi = 16\pi$ cm².
Cevap: D. $32\pi$ yalnızca çevrel çemberin alanıdır; $8\pi$ ve $12\pi$ ise yarıçap hesabındaki hatalardan çıkan değerlerdir.