12. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Geometrik Şekiller
Çemberde Kiriş ve Teğet Özellikleri
Bir köprünün kemeri, bir bisiklet zincirinin dişlileri, birbirine değen iki yuvarlak boru... Hepsinde kiriş, teğet ve çemberlerin birbirine göre konumu devrededir. Bu konuda merkezden kirişe inen dikmenin kirişi ortaladığını, değme noktasında yarıçapın teğete dik olduğunu, bir dış noktadan çizilen iki teğet parçasının eşit olduğunu keşfedecek; bu özelliklerle teğetler dörtgeninin kenar ve alan ilişkilerini çıkaracak, iki çemberin birbirine göre durumlarını merkezler arası uzaklıkla belirleyeceksin.
Kazanımlar
- MAT.12.2.2.a. Merkezden kirişe indirilen dikmenin kirişi ortaladığı varsayımını kurar, ölçümlerle sınar ve kiriş uzunluğu hesaplamalarında kullanır.
- MAT.12.2.2.b. Değme noktasında yarıçapın teğete dik olduğunu ve bir dış noktadan çizilen iki teğet parçasının eşit olduğunu genelleyerek teğet uzunluğunu hesaplar.
- MAT.12.2.2.ç. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunlukları toplamının eşit olduğunu önerme olarak sunar ve alanı yarı çevre ile yarıçap çarpımı olarak yazar.
- MAT.12.2.2.c. İki çemberin birbirine göre durumlarını (ayrık, dıştan teğet, kesişen, içten teğet, iç içe) merkezler arası uzaklık ile yarıçapları karşılaştırarak belirler.
- MAT.12.2.2.d. Teğet çemberlerde merkezlerin ve değme noktasının doğrusal olduğunu problemlerde kullanarak önermelerin kullanışlılığını değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Merkezden kirişe dikme
2. Teğet ve yarıçap
3. Teğetler dörtgeni
4. İki çemberin birbirine göre durumları
5. Önermeleri birlikte kullanmak
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Orta dikme
- Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve ona dik olan doğru; kirişin orta dikmesi merkezden geçer.
- Kirişe uzaklık
- Merkezden kirişe inen dikmenin uzunluğu ($d$); $r^2 = d^2 + (\ell/2)^2$.
- Değme noktası
- Teğetin çemberle tek ortak noktası; bu noktadaki yarıçap teğete diktir.
- Teğet parçası
- Dış noktadan değme noktasına kadar olan doğru parçası; aynı noktadan çizilen iki teğet parçası eşittir.
- Teğetler dörtgeni
- Dört kenarı da bir çembere teğet olan dörtgen; karşılıklı kenar toplamları eşit, alanı $u \cdot r$.
- İç teğet çember
- Bir çokgenin bütün kenarlarına içten teğet olan çember.
- Ortak kiriş
- İki kesişen çemberin ortak noktalarını birleştiren kiriş; merkezleri birleştiren doğruya diktir.
- Dıştan / içten teğet çemberler
- Tek ortak noktası olan çemberler; $d = r_1 + r_2$ (dıştan), $d = |r_1 - r_2|$ (içten). Merkezler ve değme noktası doğrusaldır.
Örnek soru
Yarıçapı $13$ cm olan bir çemberde uzunluğu $24$ cm olan bir kiriş çiziliyor. Merkezin bu kirişe uzaklığı kaç cm'dir?
- $1$
- $5$
- $11$
- $12$
- $25$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar: yarım kiriş $= 12$ cm.
2. Dik üçgende $r^2 = d^2 + 12^2$ ise $d^2 = 169 - 144 = 25$, $d = 5$ cm.
Cevap: B. $12$ yarım kirişin kendisidir; $1 = 13 - 12$ ve $25 = 13 + 12$ ise Pisagor yerine toplama ya da çıkarma yapmaktan gelir.