12. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Geometrik Cisimler
Dik Piramit ve Dik Dairesel Koni
Mısır'daki piramitler, dondurma külahı, trafik konisi, çadır... Bunların hepsi tek bir tepe noktasına doğru daralan cisimlerdir. Bu konuda dik prizma ve silindirden yola çıkarak (analoji kurarak) dik piramit ve dik dairesel koninin elemanlarını, yan yüz yüksekliği ile ana doğruyu, yüzey alanını ve hacmini bulacaksın. En şaşırtıcı sonuç şu: aynı tabanlı ve aynı yükseklikli prizmanın hacmi, piramidin tam üç katıdır; silindir ve koni için de durum aynıdır.
Kazanımlar
- MAT.12.3.2.a. Dik piramit ve dik dairesel koninin elemanlarını (tepe, taban, yan yüz, yan ayrıt, yükseklik, yan yüz yüksekliği, ana doğru, yarıçap) dik prizma ve silindirdekilerle karşılaştırarak gözlemler.
- MAT.12.3.2.b. Kare tabanlı dik piramitte yükseklik, yan yüz yüksekliği ve yan ayrıt arasındaki bağıntıları Pisagor teoremiyle kurar; konide $s^2 = r^2 + h^2$ bağıntısını kullanır.
- MAT.12.3.2.b. Dik piramidin yanal alanını ($A_y = Ç\cdot l/2$) ve dik dairesel koninin yanal alanını ($\pi r s$) açınımlarından çıkarır; koninin açınımındaki daire diliminin merkez açısını bulur.
- MAT.12.3.2.c. Aynı tabanlı ve aynı yükseklikli prizma–piramit ile silindir–koni hacimlerini karşılaştırarak $V = \dfrac{1}{3}A_t\cdot h$ çıkarımını yapar ve bağıntıyı problemlerde kullanır.
Konu anlatımı
1. Tepeye doğru daralan cisimler
2. Dik piramit ve dik dairesel koninin elemanları
3. Yüzey alanı: açınımdan
4. Hacim: prizmanın üçte biri
5. Çözümlü örnekler
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Dik piramit
- Tabanı düzgün çokgen, tepesinin tabandaki izdüşümü tabanın merkezi olan piramit; yan yüzleri eş ikizkenar üçgendir.
- Dik dairesel koni
- Tabanı daire, tepesinin tabandaki izdüşümü dairenin merkezi olan cisim.
- Tepe noktası
- Piramit ve koninin yan yüzeylerinin birleştiği tek nokta.
- Yan yüz yüksekliği
- Dik piramitte bir yan yüzün tepeden taban kenarına indirilen yüksekliği; $l^2 = h^2 + k^2$.
- Yan ayrıt
- Piramitte tepeyi tabanın köşesine bağlayan doğru parçası.
- Ana doğru
- Konide tepeyi taban çemberinin bir noktasına bağlayan doğru parçası; $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.
- Cisim yüksekliği
- Tepeden taban düzlemine inen dikmenin uzunluğu; ayağı taban merkezidir.
- Daire dilimi
- Koninin yan yüzeyinin açınımı; yarıçapı $s$, merkez açısı $360^\circ\cdot r/s$.
- Hacim oranı 1/3
- Aynı tabanlı ve yükseklikli piramit/koni hacmi, prizma/silindirin üçte biridir.
Örnek soru
Taban kenarı $6$ cm ve yüksekliği $4$ cm olan kare tabanlı dik piramidin yan yüz yüksekliği kaç cm'dir?
- $3$
- $\sqrt{34}$
- $\sqrt{52}$
- $5$
- $10$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Tepe, taban merkezi ve bir taban kenarının orta noktası dik üçgen oluşturur. Dik kenarlar $h = 4$ ve $a/2 = 3$; hipotenüs $l$'dir.
2. $l^2 = 4^2 + 3^2 = 25$, dolayısıyla $l = 5$ cm.
Doğru cevap: D. $\sqrt{34}$ yan ayrıttır ($16 + 18$); $\sqrt{52}$, $a$ ile $h$'yi (yarıya bölmeden) Pisagor'a koymaktan çıkar; $10$ ise $a + h$'dir.