12. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Geometrik Cisimler
Küre
Futbol topu, bilye, Dünya, su depolarının kubbesi... Küre doğada ve mühendislikte her yerde var. Ama kürenin üzerinde düz ayrıtlar, yan yüzler, köşeler yok; bu yüzden prizma ve piramitte kullandığın "açınım" yöntemi burada çalışmaz. Bu konuda kürenin elemanlarını tanıyacak, yüzey alanı ve hacim bağıntılarına silindir ve koni ile kuracağın analojiler (benzetmeler) sayesinde ulaşacaksın. Sonunda şaşırtıcı bir ilişki göreceksin: aynı yarıçaplı, yüksekliği $2r$ olan koni, küre ve silindirin hacimleri $1 : 2 : 3$ oranındadır.
Kazanımlar
- MAT.12.3.2.a. Kürenin elemanlarını (merkez, yarıçap, çap, büyük daire, yarım küre) belirler ve küre biçimli yapı ve nesnelerde bu elemanları gözlemler.
- MAT.12.3.2.b. Kürenin içine yerleştirilen büyük daireyi, silindirin tabanını ve koniyi karşılaştırarak yüzey alanı ve hacim bağıntıları arasındaki benzerlikleri belirler.
- MAT.12.3.2.c. Silindir ve koni ile kurduğu analojiden yararlanarak kürenin hacim ($\dfrac{4}{3}\pi r^3$) ve yüzey alanı ($4\pi r^2$) bağıntılarına ulaşır.
- MAT.12.3.2.c. Yarıçapı ve yüksekliği $r$ ve $2r$ olan koni, küre ve silindirin hacimleri arasındaki $1:2:3$ ilişkisini yorumlar ve problemlerde kullanır.
- MAT.12.3.2.c. Yarıçap değişince yüzey alanı ve hacmin nasıl ölçeklendiğini ($k^2$ ve $k^3$) açıklar.
Konu anlatımı
1. Neden küre?
2. Kürenin elemanları
3. Silindir–koni–küre: 1 : 2 : 3
4. Hacim formülü nereden geliyor?
5. Yarım küre ve birleşik uygulamalar
6. Çözümlü örnekler
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Küre
- Uzayda sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi.
- Merkez
- Küre üzerindeki bütün noktalara eşit uzaklıktaki nokta.
- Yarıçap
- Merkezle küre üzerindeki bir noktayı birleştiren doğru parçası; $r$.
- Çap
- Merkezden geçen ve iki ucu küre üzerinde olan doğru parçası; $d = 2r$.
- Büyük daire
- Merkezden geçen düzlemin küreyi kestiği daire; alanı $\pi r^2$.
- Yarım küre
- Bir büyük dairenin ayırdığı iki parçadan her biri.
- Cavalieri ilkesi
- Aynı yükseklikteki kesit alanları eşit olan iki cismin hacimleri eşittir.
- 1 : 2 : 3 ilişkisi
- Yarıçapı $r$, yüksekliği $2r$ olan koni, küre ve silindirin hacimlerinin oranı.
Örnek soru
Yarıçapı $6$ cm olan kürenin yüzey alanı kaç cm²'dir?
- $36\pi$
- $144\pi$
- $72\pi$
- $288\pi$
- $48\pi$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Küre yüzeyi $S = 4\pi r^2$ ile bulunur.
2. $S = 4\pi\cdot 6^2 = 144\pi$ cm².
Doğru cevap: B. $36\pi$ büyük dairenin alanıdır; $288\pi$ ise kürenin hacmidir ($\dfrac{4}{3}\pi\cdot 216$); $72\pi$ ise $2\pi r^2$ (yarım kürenin eğri yüzeyi) değeridir.