12. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Diziler
Diziler ve Fonksiyonlar
$f(x) = 3x - 1$ fonksiyonu ile $a_n = 3n - 1$ dizisi aynı formülle yazılıyor; peki aynı şey midir? İkisinin grafiği nasıl görünür, hangi değerleri alabilir, artıp azalmaları aynı mıdır? Bu konuda gerçek sayı dizilerini, tanım kümesi doğal sayılar olan fonksiyonlar olarak görecek; doğrusal fonksiyonların aritmetik, üstel fonksiyonların geometrik dizilerle nasıl eşleştiğini keşfedecek ve dizi ile fonksiyonun benzerliklerini ve farklılıklarını listeleyeceksin. Karesel ve rasyonel örneklerle ($n^2 - 8n$ ve $1/n$) sezgilerin ne zaman yanıltıcı olduğunu göreceksin.
Kazanımlar
- MAT.12.1.2.a. Gerçek sayı dizilerinin tanım kümesi, değer kümesi ve grafiğine ilişkin özellikleri ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların özelliklerini belirler.
- MAT.12.1.2.a. Dizilerin monoton artan ve monoton azalan olma durumlarını terimleri karşılaştırarak belirler; doğrusal ve karesel dizilerde monotonluğu değerlendirir.
- MAT.12.1.2.b. Aritmetik dizi ile doğrusal fonksiyon, geometrik dizi ile üstel fonksiyon arasındaki benzerlikleri listeler.
- MAT.12.1.2.b. $\frac1n$ dizisi ile $\frac1x$ fonksiyonunun benzerliklerini listeler (her ikisinde de değerler büyük girdilerde küçülür).
- MAT.12.1.2.c. Dizi ile fonksiyonun farklılıklarını listeler: tanım kümesi, grafiğin ayrık/sürekli oluşu, monotonluğun yorumu.
- MAT.12.1.2.c. Monoton olmayan dizi örneklerini karesel fonksiyondan üretir ve en küçük terimi bulur.
Konu anlatımı
1. Aynı formül, farklı nesne mi?
2. Dizi, tanım kümesi ℕ⁺ olan bir fonksiyondur
3. Doğrusal ↔ aritmetik, üstel ↔ geometrik
4. Monotonluk: dizide ve fonksiyonda
5. Karesel dizide en küçük terim
6. (1/n) dizisi ve 1/x fonksiyonu
7. Benzerlikler ve farklılıklar
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Gerçek sayı dizisi
- Tanım kümesi $\mathbb{N}^+$, değer kümesi gerçek sayılar olan fonksiyon; $n \mapsto a_n$.
- Tanım kümesi
- Bir fonksiyonun girdi olarak kabul ettiği değerlerin kümesi; dizide $\mathbb{N}^+$.
- Ayrık grafik
- Noktalar arası boşluk bırakılan grafik; dizinin grafiği $(n, a_n)$ noktalarından oluşur.
- Monoton artan / azalan dizi
- $a_{n+1} > a_n$ (artan) ya da $a_{n+1} < a_n$ (azalan) her $n$ için sağlanan dizi.
- Monoton olmayan dizi
- Önce azalıp sonra artan ya da işaret değiştirerek hem artan hem azalan adımlar içeren dizi.
- Doğrusal fonksiyon ↔ aritmetik dizi
- $f(x) = px + q$ için $a_n = pn + q$ aritmetiktir; ortak fark $d = p$ eğime eşittir.
- Üstel fonksiyon ↔ geometrik dizi
- $f(x) = p\,b^{x}$ için $a_n = p\,b^{n}$ geometriktir; ortak oran $r = b$ tabana eşittir.
- Tepe noktası
- $f(x) = x^2 - kx$ parabolünün $x = k/2$'deki noktası; karesel dizide en küçük terimi bulmak için kullanılır.
Örnek soru
Gerçek sayı dizisi, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi gibi tanımlanır?
- Tanım kümesi $\mathbb{R}$, değer kümesi $\mathbb{R}$ olan fonksiyon
- Tanım kümesi $\mathbb{Z}$, değer kümesi $\mathbb{R}$ olan fonksiyon
- Tanım kümesi $\mathbb{N}^+$, değer kümesi $\mathbb{R}$ olan fonksiyon
- Tanım kümesi $[1, \infty)$, değer kümesi $\mathbb{R}$ olan fonksiyon
- Tanım kümesi $\mathbb{R}$, değer kümesi $\mathbb{N}^+$ olan fonksiyon
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Dizinin girdisi terim numarasıdır: $1, 2, 3, \dots$ yani pozitif doğal sayılar.
2. Çıktısı $a_n$ bir gerçek sayıdır. Bu nedenle dizi $a:\ \mathbb{N}^+ \to \mathbb{R}$ fonksiyonudur.
Doğru cevap: C. A ve D şıkları sürekli tanım kümesidir: dizide $2{,}5.$ ya da $1{,}3.$ terim yoktur. B şıkkı negatif tamsayıları da içerir: dizide $0.$ ya da $-1.$ terim yoktur. E şıkkında girdi ile çıktının kümeleri yer değiştirmiştir.