12. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Polinom Fonksiyonlar
Doğrusal ve Karesel Fonksiyonlardan Polinom Fonksiyonlara
Bir kutunun hacmi, bir şirketin kârı, bir cismin yüksekliği... Bunları modelleyen formüller çoğu zaman doğrusal ve karesel fonksiyonların toplanması, çıkarılması ve çarpılmasıyla ortaya çıkar. Bu konuda bu işlemlerin sonucunun yeni bir fonksiyon ailesi, yani polinom fonksiyonlar olduğunu göreceksin. Doğrusal ve karesel fonksiyonlarda bildiğin derece, başkatsayı, sabit terim, kök ve grafik özelliklerinin bu aileye nasıl genellendiğini sayısal, grafiksel ve cebirsel temsillerle karşılaştırarak çıkaracaksın.
Kazanımlar
- MAT.12.1.3.a. Doğrusal ve karesel fonksiyonlar ile derecesi en çok 4 olan polinom fonksiyonların değer tablosunu, grafiğini ve cebirsel yazılışını birlikte okur.
- MAT.12.1.3.a. Bir polinom fonksiyonun derecesini, başkatsayısını ve sabit terimini belirler; sabit terimi $p(0)$ değerinden, katsayılar toplamını $p(1)$ değerinden okur.
- MAT.12.1.3.b. $\mathbb{R}$'de tanımlı doğrusal ve karesel fonksiyonların toplamı, farkı ve çarpımının yine bir polinom fonksiyon olduğunu gösterir; sonucun derecesini işlemin türüne göre bulur.
- MAT.12.1.3.b. Başkatsayıların sadeleşmesiyle derecenin düşebildiği durumları (ör. $a = 0$) fark eder ve açıklar.
- MAT.12.1.3.c. Doğrusal, karesel ve daha yüksek dereceli polinom fonksiyonların tanım kümesi, değer kümesi, kök sayısı ve uç davranışı bakımından benzer ve farklı yanlarını karşılaştırarak aynı aileden olduklarını gerekçelendirir.
Konu anlatımı
1. Tanıdık iki fonksiyondan yeni fonksiyonlar
2. Polinom fonksiyon: tanım ve adlar
3. İşlemler: derece nasıl bulunur?
4. Çözümlü örnekler
5. Aynı ailenin üyeleri: ortak ve farklı özellikler
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Polinom fonksiyon
- $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ biçiminde, $x$'in kuvvetleri doğal sayı ve katsayıları gerçek sayı olan, $\mathbb{R}$'de tanımlı fonksiyon.
- Derece
- Katsayısı sıfırdan farklı olan en yüksek $x$ kuvveti. Toplamada en büyük, çarpmada toplam derece kuralı geçerlidir.
- Başkatsayı
- En yüksek dereceli terimin katsayısı. Çarpımda başkatsayılar çarpılır.
- Sabit terim
- $x$ içermeyen terim, yani $p(0)$. Grafiğin y-eksenini kestiği değerdir.
- Doğrusal fonksiyon
- $f(x) = mx + n$, $m \neq 0$. Derecesi 1 olan polinom fonksiyon.
- Karesel fonksiyon
- $g(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$. Derecesi 2 olan polinom fonksiyon; grafiği paraboldür.
- Katsayılar toplamı
- Polinomun tüm katsayılarının toplamı; $p(1)$'e eşittir.
- Kök (sıfır)
- $p(r) = 0$ eşitliğini sağlayan $r$ değeri; grafiğin x-eksenini kestiği ya da değdiği nokta.
Örnek soru
$p(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 7$ polinom fonksiyonunun derecesi, başkatsayısı ve sabit terimi sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
- Derece 3, başkatsayı $-2$, sabit terim $-7$
- Derece 4, başkatsayı $-7$, sabit terim $3$
- Derece 4, başkatsayı $3$, sabit terim $-7$
- Derece 4, başkatsayı $3$, sabit terim $-5$
- Derece 5, başkatsayı $3$, sabit terim $-7$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Katsayısı sıfırdan farklı en yüksek kuvvet $x^4$ olduğundan derece 4'tür ($x^3$ terimi yazılmamıştır, katsayısı 0'dır).
2. En yüksek dereceli terim $3x^4$ olduğundan başkatsayı 3'tür.
3. Sabit terim $p(0) = -7$'dir.
Doğru cevap: C. D şıkkındaki $-5$ değeri sabit terim değil, katsayılar toplamıdır ($p(1) = 3 - 2 + 1 - 7 = -5$). B şıkkı başkatsayı ile sabit terimi karıştırır.