12. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Polinom Fonksiyonlar
Polinom Fonksiyonların Nitel Özellikleri
Bir polinom fonksiyonun formülüne bakıp grafiğinin nasıl bir şekil alacağını önceden kestirebilir misin? Yüksek dereceli bir polinomun denklemini çözmeden kaç kökü olabileceğini, hangi aralıkta pozitif olduğunu, uçlarının nereye gittiğini söyleyebilir misin? Bu konuda derecesi en çok 4 olan polinom fonksiyonların grafiklerini gözleyip varsayımlar kuracak, bunları genelleyecek ve çarpanlara ayrılmış yazılıştan kökleri, işareti, uç davranışını, bire birliği, örtenliği ve teklik-çiftliği okuyacaksın. Bulduğun kuralları yay, enerji ve hacim gibi gerçek durumlarda kullanacaksın.
Kazanımlar
- MAT.12.1.4.a. Derecesi en çok 4 olan polinom fonksiyonun grafiğinin uç davranışı hakkında derece çift ya da tek olmasına ve başkatsayının işaretine bakarak varsayım kurar.
- MAT.12.1.4.b. Çarpanlara ayrılmış yazılıştan kökleri ve kök çokluklarını okur; çift çokluklu kökte grafiğin eksene teğet olduğunu, tek çokluklu kökte eksenin kesildiğini genellemeler.
- MAT.12.1.4.c. Kökler arasındaki aralıklarda polinomun işaretini (işaret tablosuyla) bulur ve varsayımıyla karşılaştırır.
- MAT.12.1.4.ç. Derecesi $n$ olan bir polinom fonksiyonun en çok $n$ gerçek köküne ve en çok $n-1$ yerel ekstremum noktasına sahip olduğunu önerme olarak ifade eder.
- MAT.12.1.4.ç. Polinom fonksiyonun bire birliğini, örtenliğini, değer kümesini, tek ya da çift olup olmadığını derece ve terim yapısından çıkarır.
- MAT.12.1.4.d. Bu önermeleri hareket, enerji ve hacim gibi gerçek yaşam durumlarında yorumlamada kullanır.
Konu anlatımı
1. Formül mü, grafik mi?
2. Uç davranışı: derece ve başkatsayı
3. Kökler ve kök çokluğu: kesen mi, teğet mi?
4. İşaret incelemesi
5. Yerel ekstremum, bire birlik ve örtenlik
6. Teklik–çiftlik ve gerçek yaşam bağlantıları
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Uç davranışı
- $x \to -\infty$ ve $x \to +\infty$ iken polinomun değerinin nereye gittiği; derecenin tek/çift olması ve başkatsayının işaretiyle belirlenir.
- Kök çokluğu
- $(x - r)^m$ çarpanındaki $m$ kuvveti. Çift çokluk: grafik eksene teğet; tek çokluk: grafik ekseni keser.
- İşaret tablosu
- Kökleri sıralayıp her aralıkta polinomun işaretini gösteren tablo. Tek çokluklu kökte işaret değişir, çift çokluklu kökte değişmez.
- Yerel ekstremum
- Grafiğin yerel tepe (maksimum) ya da çukur (minimum) noktası. Derecesi $n$ olan polinomda en çok $n-1$ tanedir.
- Bire birlik
- Her $y$ değerinin en çok bir $x$ ile eşleşmesi. Yatay doğrunun grafiği en çok bir noktada kesmesiyle anlaşılır.
- Örtenlik
- Değer kümesinin (ℝ→ℝ için) ℝ'ye eşit olması. Tek dereceli polinomlar örtendir, çift dereceliler değildir.
- Çift fonksiyon
- $p(-x) = p(x)$; grafiği y eksenine göre simetrik. Yalnız çift kuvvetli terimleri olan polinomlar çifttir.
- Tek fonksiyon
- $p(-x) = -p(x)$; grafiği orijine göre simetrik. Yalnız tek kuvvetli terimleri olan polinomlar tektir.
Örnek soru
$p(x) = -3x^4 + x^2 - 1$ polinom fonksiyonu için $x \to -\infty$ ve $x \to +\infty$ iken $p(x)$'in davranışı aşağıdakilerden hangisidir?
- İki uçta da $+\infty$'a gider.
- Sol uçta $-\infty$'a, sağ uçta $+\infty$'a gider.
- İki uçta da $-\infty$'a gider.
- Sol uçta $+\infty$'a, sağ uçta $-\infty$'a gider.
- İki uçta da sonlu bir değere yaklaşır.
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Uç davranışını en yüksek dereceli terim $-3x^4$ belirler.
2. Derece 4 (çift) olduğundan iki uç aynı yöne gider.
3. Başkatsayı $-3 < 0$ olduğundan bu yön aşağıdır: iki uçta da $-\infty$.
Doğru cevap: C. A şıkkı başkatsayının işaretini unutmaktan, B ve D şıkları ise çift dereceyi tek derece gibi düşünmekten gelir.