12. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Geometrik Cisimler
Geometrik Cisimlerle İlgili Problemler
Su dolu bir kaba bilye atınca seviye neden yükselir? Eriyen bir madeni küre küçük kürelere dökülürse boyama maliyeti neden artar? Bir silonun üstündeki kubbe ne kadar hacim ekler? Bu tür günlük hayat ve mimari problemlerinin hepsinde aynı beş cisim (prizma, silindir, piramit, koni, küre) ve aynı birkaç bağıntı kullanılır; zor olan, problemi doğru kurmaktır. Bu konuda bir problem çözme stratejisi geliştirecek, dört tipik senaryoyu (su dolu kap, tabana paralel kesit, erime–dökme, birleşik cisim) çözecek ve çözümünü kontrol edip genelleyeceksin.
Kazanımlar
- MAT.12.3.3.a. Geometrik cisimleri içeren bir problemin bileşenlerini (nicelikler, şekil, birimler) ve bileşenler arasındaki ilişkileri belirler.
- MAT.12.3.3.c. Problemi şekil, hacim ve alan denklemi gibi matematiksel temsillere dönüştürür ve kendi cümleleriyle açıklar.
- MAT.12.3.3.d. Su dolu kap, tabana paralel kesit, erime–dökme ve birleşik cisim problemlerini çözmek için strateji geliştirir (hacmi eşitle, benzerlik oranı kullan, parçalara ayır).
- MAT.12.3.3.e. Geliştirdiği stratejiyi uygulayarak hacim ve yüzey alanı isteyen problemleri çözer.
- MAT.12.3.3.f. Çözümü birim, büyüklük mertebesi ve uç durumlarla kontrol eder; çözüme ulaştırmayan stratejiyi değiştirir.
- MAT.12.3.3.g. Kullandığı stratejiyi farklı çözüm yollarıyla karşılaştırır, hangi problem türlerine uyarlanabileceğine ilişkin çıkarım yapar ve çıkarımını örneklerle değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Bir problem çözme stratejisi
2. Senaryo 1: Su dolu kap
3. Senaryo 2: Tabana paralel kesit ve benzerlik
4. Senaryo 3: Erime–dökme
5. Senaryo 4: Silo ve birleşik cisimler
6. Çözümlü örnekler
7. Kontrol etme ve genelleme
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Hacim korunumu
- Eritme ve dökme gibi işlemlerde madde miktarı sabit kaldığından hacmin değişmemesi.
- Yer değiştiren hacim
- Suya batan cismin hacmi kadar su seviyesinin yükselmesi.
- Benzerlik oranı
- Tabana paralel kesitte tepe tarafındaki küçük cismin büyük cisme uzunluk oranı $k$.
- $k$, $k^2$, $k^3$ kuralı
- Benzer cisimlerde uzunluk oranı $k$ ise alan oranı $k^2$, hacim oranı $k^3$'tür.
- Tabana paralel kesit
- Taban düzlemine paralel düzlemin cismi kestiği kesit; koni ve piramitte tabana benzer bir şekildir.
- Birleşik cisim
- Silo gibi birden çok geometrik cismin birleşmesiyle oluşan cisim; hacmi parçaların toplamıdır.
- Silo
- Tahıl depolamak için yapılan, silindirik gövdesi çoğunlukla üstten yarım küre ya da koni ile kapanan yapı.
- Strateji
- Bileşenleri belirleme, temsile dönüştürme, çözme ve kontrol etme adımlarından oluşan çözüm planı.
Örnek soru
Taban yarıçapı $12$ cm olan silindir biçimli bir kapta su vardır. Yarıçapı $6$ cm olan bir demir bilye tamamen suya batırılıyor (su taşmıyor). Su seviyesi kaç cm yükselir?
- $1$
- $1{,}5$
- $2$
- $3$
- $6$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Bilyenin hacmi $\dfrac{4}{3}\pi\cdot 6^3 = 288\pi$ cm³.
2. Yükselen su tabakasının hacmi bilyenin hacmine eşittir: $\pi\cdot 12^2\cdot\Delta h = 288\pi$.
3. $\Delta h = \dfrac{288}{144} = 2$ cm.
Doğru cevap: C. $1{,}5$, $\dfrac{4}{3}$ çarpanını unutmaktan ($216\pi / 144\pi$); $6$ ise bilyenin yarıçapını yükselme sanmaktan çıkar.