12. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Değişimin Matematiği: Limit ve Süreklilik
Süreklilik
Su faturası belli bir tüketimden sonra tarife değiştiğinde, tarife sınırında fatura birden sıçrıyor mu, yoksa kesintisiz mi artıyor? Matematikte "kalemi kaldırmadan çizilebilen" grafikleri sürekli fonksiyonlar olarak düşünürüz; ama bunu somut bir koşula bağlamamız gerekir. Bu konuda bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktada değeri ile limitini karşılaştıracak, sürekliliği $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ eşitliği olarak ifade edecek, süreksizlik örneklerini tablo ve grafikle ayırt edecek ve "sürekli olması için $k$ kaç olmalı?" sorusunu çözeceksin.
Kazanımlar
- MAT.12.4.4.a. Tanımlı olduğu bir $x=a$ noktasında bir fonksiyonun değeri ile o noktadaki limitini tablo ve grafikten karşılaştırır.
- MAT.12.4.4.b. Süreklilik için gereken üç koşulu ($f(a)$ tanımlı, limit var, limit $f(a)$'ya eşit) sırayla kontrol eder.
- MAT.12.4.4.c. Bir noktadaki sürekliliği $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ eşitliği olarak ifade eder ve cebirsel temsili verilen fonksiyonlarda bu eşitliği kullanır.
- MAT.12.4.4.a. Süreksizlik örneklerini (delik, sıçrama, dikey asimptot) tablo ve grafikte ayırt eder; hangi koşulun bozulduğunu belirtir.
- MAT.12.4.4.c. Parçalı ve delikli fonksiyonlarda sürekliliği sağlayan parametre değerini ($k$) bulur.
Konu anlatımı
1. Kalemi kaldırmadan çizmek: sezgiden tanıma
2. Süreklilik: üç koşul tek eşitlik
3. Süreksizlik örnekleri: hangi koşul bozuldu?
4. Cebirsel temsille süreklilik ve "sürekli olması için k"
5. Çözümlü örnekler
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Süreklilik
- $f$, tanımlı olduğu $x=a$ noktasında $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ ise bu noktada süreklidir.
- Süreksizlik
- Süreklilik koşullarından en az birinin sağlanmaması; delik, sıçrama ya da dikey asimptot olarak görülür.
- Fonksiyon değeri f(a)
- Grafikte $x=a$ üzerindeki dolu noktanın yüksekliği.
- Limit değeri
- Grafikte eğrinin $x=a$'ya yaklaşırken gittiği yükseklik (boş daire).
- Delik
- Limitin var olduğu ama $f(a)$'nın tanımsız ya da limitten farklı olduğu süreksizlik.
- Sıçrama
- Sol ve sağ limitin farklı olduğu süreksizlik; hiçbir $f(a)$ değeriyle kapatılamaz.
- Parçalı fonksiyon
- Farklı bölgelerde farklı kurallarla tanımlanan fonksiyon; parça birleşim noktasında süreklilik iki parçanın eşitlenmesiyle sağlanır.
Örnek soru
Bir $f$ fonksiyonunun $x=a$ noktasında sürekli olması aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilir?
- $f(a)$ tanımlıdır
- $\lim_{x\to a}f(x)$ vardır
- $\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)$
- $\lim_{x\to a}f(x)=a$
- $f(a)$ tanımlıdır ve $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. Süreklilik için üç şey gerekir: $f(a)$ tanımlı, limit var, limit $f(a)$'ya eşit.
2. Bunların hepsi $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ eşitliğinde özetlenir.
3. Diğer şıklardan her biri tek başına gerekli ama yeterli değildir.
Doğru cevap: E. Son şık, limiti a ile karıştırır; eşitliğin sağ tarafı fonksiyonun değeridir, x değeri değil.