12. Sınıf Matematik · 6. Ünite: Değişimin Matematiği: Türev
Ortalama ve Anlık Değişim Oranı
Bir aracın hız göstergesi, "şu an" kaç km/sa gittiğini söyler. Oysa hız, yolun zamana bölümüdür ve "şu an" bir zaman aralığı değildir. Bu çelişkiyi çözen fikir türevdir: önce iki nokta arasındaki ortalama değişim oranını (kesenin eğimi) bulur, sonra aralığı küçülterek anlık değişim oranına ulaşırız. Bu konuda tablo, grafik ve limitle çalışıp türevin tanımına varacaksın.
Kazanımlar
- MAT.12.4.5.a. Bir fonksiyonun [a, b] aralığındaki ortalama değişim oranını tablo, grafik ve cebirsel ifadeden hesaplar ve kesen doğrusunun eğimi olarak yorumlar.
- MAT.12.4.5.b. Aralık daraldıkça kesen doğrusunun teğete yaklaşmasını, ortalama değişim oranı ile anlık değişim oranı arasındaki ilişkiyi açıklar.
- MAT.12.4.5.c. Sağdan ve soldan fark bölümü tablolarından yararlanarak bir noktadaki anlık değişim oranını limit gösterimiyle ifade eder.
- MAT.12.4.5.ç. Anlık değişim oranını f′(a) türevi olarak adlandırır ve f′(a) = lim (h→0) [f(a+h) − f(a)] / h tanımını kullanarak değerini bulur.
- MAT.12.4.5.ğ. Yol–zaman bağlamında ortalama hız ile anlık hızı ayırt eder; anlık değişim oranını gerektiren problemleri çözer.
- MAT.12.4.5.h. Türevin limit tanımını xⁿ, √x ve 1/x türü fonksiyonlarda uygular ve yöntemin kullanışlılığını değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Bir hız göstergesi neyi ölçer?
2. Ortalama değişim oranı ve kesen doğrusu
3. Kesenden teğete: tablo ve grafik
4. Türevin limitle tanımı
5. Çözümlü örnekler
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Ortalama değişim oranı
- [a, b] aralığında (f(b) − f(a)) / (b − a) sayısı; grafikte kesen doğrusunun eğimi, yol–zamanda ortalama hız.
- Kesen doğrusu
- Bir eğrinin iki noktasından geçen doğru; eğimi ortalama değişim oranına eşittir.
- Fark bölümü
- [f(a+h) − f(a)] / h ifadesi; h uzunluğundaki aralıkta ortalama değişim oranını verir.
- Anlık değişim oranı
- Fark bölümünün h → 0 iken limiti; fonksiyonun bir noktadaki o andaki değişim hızı.
- Teğet doğrusu
- Kesen doğrularının, ikinci nokta birinciye yaklaşırken ulaştığı limit doğru; eğimi f′(a)'dır.
- Türev
- f′(a) = lim (h→0) [f(a+h) − f(a)] / h; limit varsa f, a noktasında türevlenebilirdir.
- Anlık hız
- Konum fonksiyonunun türevi; s′(t), t anındaki hızı verir.
- Sağdan ve soldan fark bölümü
- h > 0 ve h < 0 için hesaplanan fark bölümleri; türev varsa ikisi de aynı sayıya yaklaşır.
Örnek soru
$f(x) = x^2$ fonksiyonunun $[1, 3]$ aralığındaki ortalama değişim oranı kaçtır?
- 2
- 4
- 6
- 8
- 10
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $f(1) = 1$ ve $f(3) = 9$ olur.
2. Ortalama değişim oranı $\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{9 - 1}{2} = 4$ bulunur.
3. Bu sayı, $(1, 1)$ ve $(3, 9)$ noktalarından geçen kesenin eğimidir.
Doğru cevap: B. $8$ yalnızca $\Delta y$ değeridir ($\Delta x$'e bölmeyi unutmak); $6$ ise $f'(3)$ değeridir, ortalama değişim oranı değildir.