12. Sınıf Matematik · 6. Ünite: Değişimin Matematiği: Türev
Temel Fonksiyonların Türevi
Her fonksiyon için türevi limit tanımıyla hesaplamak uzun ve yorucudur. Bu konuda f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ), √x ve 1/x fonksiyonlarının türevlerini önce sayı tablolarından bir örüntü arayarak tahmin edecek, sonra tahminini kontrol edip genelleyecek ve en sonunda limit tanımıyla ispatlayacaksın. Elde ettiğin kurallar, anlık değişim oranı gerektiren problemlerin çoğunu tek satırda çözmeni sağlar.
Kazanımlar
- MAT.12.4.5.d. f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ), √x ve 1/x fonksiyonlarının farklı noktalardaki anlık değişim oranlarını tablodan inceleyerek türevlerine yönelik varsayım kurar.
- MAT.12.4.5.e. Varsayımlarına dayalı örüntüleri geneller: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (√x)′ = 1/(2√x), (1/x)′ = −1/x².
- MAT.12.4.5.f. Genellemesini yeni bir n değeri ve yeni noktalarla sınayarak varsayımı karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
- MAT.12.4.5.g. Genellemelerini önerme olarak ifade eder (tanım kümesi koşullarıyla birlikte).
- MAT.12.4.5.ğ. Önermelerini hacim, alan, hız ve basınç gibi anlık değişim oranı gerektiren problem durumlarında kullanır.
- MAT.12.4.5.h. xⁿ, √x ve 1/x fonksiyonlarının bir noktadaki türevini limit gösteriminden yararlanarak ispatlar.
- MAT.12.4.5.ı. Uyguladığı ispat yöntemini kullanışlılık açısından değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Önce örüntü, sonra kural
2. xⁿ fonksiyonları: tablodan varsayım
3. √x ve 1/x fonksiyonları
4. Önermeler ve limitle ispat
5. Çözümlü örnekler ve anlık değişim problemleri
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Varsayım
- Tablo ve grafik gözlemlerinden çıkarılan, henüz ispatlanmamış kural önerisi.
- Genelleme
- Birkaç örnekte gözlenen örüntünün yeni durumlarda da sınanarak tüm uygun durumlara yayılması.
- Önerme
- Koşullarıyla birlikte (ör. n ∈ ℕ, x > 0) açıkça yazılmış doğru ya da yanlış olabilen ifade.
- Sabit fonksiyonun türevi
- f(x) = c için f′(x) = 0; grafik yataydır, eğim her yerde sıfırdır.
- Kuvvet fonksiyonu türevi
- n ∈ ℕ için (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; üs katsayı olur, üs bir azalır.
- Karekök fonksiyonunun türevi
- x > 0 için (√x)′ = 1 / (2√x).
- Çarpmaya göre ters fonksiyonun türevi
- x ≠ 0 için (1/x)′ = −1/x²; fonksiyon azaldığı için eğim negatiftir.
- Eşlenik
- √(a+h) − √a ifadesi için √(a+h) + √a; çarpıldığında karekökleri kaldırır.
- Binom açılımı
- (a+h)ⁿ ifadesinin terimlere açılımı; xⁿ türevinin ispatında kullanılır.
Örnek soru
$f(x) = x^4$ fonksiyonunun $x = 3$ noktasındaki anlık değişim oranı kaçtır?
- 12
- 36
- 108
- 81
- 324
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $(x^n)' = n x^{n-1}$ kuralıyla $f'(x) = 4x^3$.
2. $f'(3) = 4\cdot 27 = 108$.
Doğru cevap: C. $81$ fonksiyonun değeridir ($3^4$); $36$ üssü iki azaltma hatasıdır ($4\cdot 3^2$); $324$ ise üssü azaltmayı unutmaktır ($4\cdot 3^4$).