12. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Polinom Fonksiyonlar
Polinom ve Rasyonel Denklem ve Eşitsizlikler
Bir kutunun hacmi ne zaman pozitif olur? Ortalama maliyet ne zaman belirli bir değerin altına iner? Hız ne olmalı ki yol 4 saatten kısa sürsün? Bu soruların hepsi polinom ya da rasyonel fonksiyonlarla kurulan denklem ve eşitsizliklere dönüşür. Bu konuda problemi kurmayı, çarpanlara ayırıp işaret tablosu ve grafikle çözmeyi, paydayı sıfır yapan değerleri dışarıda bırakmayı ve çözümü kontrol etmeyi öğreneceksin. Fonksiyonlar $ax + b$ ya da $ax^2 + bx + c$ biçimindeki ifadelerin çarpımı veya bölümü şeklindedir.
Kazanımlar
- MAT.12.1.5.a. Gerçek yaşam problemini polinom ya da rasyonel bir denklem veya eşitsizliğe dönüştürür; bilinmeyeni ve tanım koşullarını belirler.
- MAT.12.1.5.b. Denklemi ya da eşitsizliği bir tarafı sıfır olacak biçimde yazar, çarpanlara ayırır ve işaret tablosuyla çözüm kümesini aralık gösterimiyle bulur.
- MAT.12.1.5.b. Rasyonel denklem ve eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesinden çıkarır; ortak çarpandan oluşan delik ile düşey asimptotu ayırt eder.
- MAT.12.1.5.b. $p(x) \gtrless k$ biçimindeki eşitsizliği, $y = p(x)$ grafiği ile $y = k$ doğrusunu karşılaştırarak çözer.
- MAT.12.1.5.c. Bulduğu çözümü değer yerine koyarak, işaret tablosuyla ve grafikle kontrol eder; bağlamdaki kısıtlara göre çözüm kümesini yorumlar.
- MAT.12.1.5.ç. Aynı problemi sadeleştirme, işaret tablosu ve grafik gibi farklı stratejilerle çözüp karşılaştırır; çıkarımlarının geçerliliğini sözel, cebirsel ve grafiksel olarak savunur.
Konu anlatımı
1. Problemden eşitsizliğe
2. Polinom eşitsizlikleri ve işaret tablosu
3. Rasyonel denklem ve eşitsizlikler
4. Ortak çarpan: delik ve düşey asimptot
5. Grafikle çözüm ve ikinci strateji
6. Gerçek yaşam problemleri
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- İşaret tablosu
- Pay ve paydanın köklerini sıralayıp her aralıkta ifadenin işaretini gösteren tablo.
- Çözüm kümesi
- Denklemi ya da eşitsizliği sağlayan tüm $x$ değerlerinin aralık gösterimiyle yazılmış kümesi.
- Rasyonel fonksiyon
- İki polinomun bölümü olan $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ fonksiyonu; tanım kümesi $Q(x) \neq 0$ koşuluyla bulunur.
- Düşey asimptot
- Yalnız paydayı sıfırlayan değerde, grafiğin yaklaştığı ve hiç değmediği dikey doğru.
- Delik
- Pay ve paydanın ortak çarpanının kökünde grafikte oluşan boş nokta; sadeleştirilmiş fonksiyonun değeriyle belirlenir.
- Kapalı / açık uç
- Eşitlik varsa ve ifade tanımlıysa uç kapalıdır (köşeli parantez); paydanın kökü ya da katı eşitsizlikte uç açıktır (yuvarlak parantez).
- Tanım koşulu
- Problemin anlamlı olması için bilinmeyenin sağlaması gereken kısıt (pozitif uzunluk, paydanın sıfırdan farklı olması gibi).
Örnek soru
$x^2 + x - 6 > 0$ eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- $(-3, 2)$
- $(-\infty, -3) \cup (2, \infty)$
- $[-3, 2]$
- $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$
- $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Çarpanlara ayır: $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$. Kökler $-3$ ve $2$.
2. Başkatsayı pozitif olduğundan kökler dışında ifade pozitiftir: $x < -3$ ve $x > 2$ aralıklarında $+$, arada $-$.
3. Eşitsizlik katı ($>$) olduğundan kökler çözüme dahil değildir.
Doğru cevap: B. A şıkkı $< 0$ çözümüdür; D şıkkı katı eşitsizlikte kökleri dahil eder; E şıkkı kökleri yanlış çarpanlamaktan gelir ($x^2 - x - 6$).