12. Sınıf Matematik · 7. Ünite: Değişimin Matematiği: Türevin Uygulamaları
Rolle ve Ortalama Değer Teoremleri
Bir otoyolda iki radar arasındaki yolu ortalama 120 km/sa hızla alan bir sürücü, yolun hiçbir yerinde 120 km/sa hızla gitmediğini iddia edebilir mi? Matematik bunu reddeder: ortalama hız kadar anlık hızın da bir yerde yaşanması gerekir. Bu konuda grafik üzerinde kesen ve teğet doğrularını karşılaştırarak Rolle ve Ortalama Değer Teoremlerini önerme olarak keşfedecek, koşullarından biri bozulduğunda sonucun neden çöktüğünü karşı örneklerle görecek ve ortalama hız yorumunu gerçek yaşam durumlarına uygulayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.12.4.8.a. Bir aralığın uç noktalarını birleştiren kesen doğrusunun eğimi ile aralık içindeki teğet eğimleri arasındaki ilişkiye dair varsayımda bulunur.
- MAT.12.4.8.b. Farklı polinom fonksiyonlarda f(a) = f(b) iken yatay teğetin bulunduğu örüntüsünü listeler ve genelleyerek Rolle Teoremini önerme olarak yazar.
- MAT.12.4.8.c. Rolle ve Ortalama Değer Teoremlerinin koşullarını (süreklilik, türevlenebilirlik, f(a) = f(b)) kontrol ederek uygulanabilirliğe karar verir.
- MAT.12.4.8.ç. Koşullardan biri sağlanmadığında teoremin sonucunun garanti edilmediğini |x − 1|, sıçramalı fonksiyon ve 1/x karşı örnekleriyle gerekçelendirir.
- MAT.12.4.8.d. Teoremlerdeki c değerini polinom fonksiyonlarda hesaplar; ortalama hız ve anlık hız ilişkisini otoyol hız kontrolü gibi bağlamlarda yorumlar.
Konu anlatımı
1. Ortalama hız ile anlık hız arasında ne var?
2. Rolle Teoremi
3. Ortalama Değer Teoremi
4. Koşullar neden gerekli? Karşı örnekler
5. Çözümlü örnekler ve parametre problemleri
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Kesen doğrusu
- Grafiğin iki noktasını (a, f(a)) ve (b, f(b)) birleştiren doğru; eğimi ortalama değişim hızıdır.
- Ortalama değişim hızı
- (f(b) − f(a)) / (b − a); otoyol örneğinde ortalama hız.
- Rolle Teoremi
- [a, b] de sürekli, (a, b) de türevlenebilir ve f(a) = f(b) ise f′(c) = 0 olan en az bir c ∈ (a, b) vardır.
- Ortalama Değer Teoremi
- [a, b] de sürekli, (a, b) de türevlenebilir ise f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a) olan en az bir c ∈ (a, b) vardır.
- Süreklilik
- Grafiğin kalemi kaldırmadan çizilebilmesi; teoremin birinci koşulu.
- Türevlenebilirlik
- Her noktada teğetin var olması (köşe ya da kopukluk olmaması); teoremin ikinci koşulu.
- Karşı örnek
- Bir önermenin geçerli olmadığını göstermek için kullanılan, koşulları bozulmuş örnek (|x − 1|, sıçramalı fonksiyon, 1/x).
- Anlık hız
- Konum fonksiyonunun türevi s′(t); ODT'ye göre ortalama hız değeri en az bir anda yaşanır.
Örnek soru
$f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonu için $[1, 3]$ aralığında Rolle Teoremi'ni sağlayan $c$ değeri kaçtır?
- $0$
- $1$
- $\dfrac{3}{2}$
- $2$
- $\dfrac{5}{2}$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ ve $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$; $f(1) = f(3)$ ve polinom olduğundan diğer koşullar da sağlanır.
2. $f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.
3. $2 \in (1, 3)$ olduğundan $c = 2$.
Doğru cevap: D. B şıkkı, aralığın ucu olan kökü ($x = 1$) $c$ sanmaktır; $c$ açık aralığın içinde ve $f'(c) = 0$ eşitliğini sağlayan noktadır.