12. Sınıf Matematik · 7. Ünite: Değişimin Matematiği: Türevin Uygulamaları

Türev ile Polinom Fonksiyonların Grafiği

Bir polinomun grafiğini nokta nokta çizmeye çalışırsan tepeleri ve çukurları kaçırabilirsin. Türev bu sorunu çözer: f′ nün işareti eğrinin nerede yükselip nerede alçaldığını, f′ nün kökleri ise tepe ve çukurların yerini söyler. Bu konuda en fazla dördüncü dereceden polinomların grafiğini beş adımda kurmayı, f ile f′ nü aynı eksende okumayı ve y = h doğrusuyla f(x) = h denkleminin kök sayısını yorumlamayı öğreneceksin.

Kazanımlar

• MAT.12.4.8.a. Polinom fonksiyonun derecesi ve baş katsayısından uç davranışına (x → ±∞) dair varsayım yapar.
• MAT.12.4.8.b. Farklı polinomlarda f′ nün işaretini inceleyerek artan ve azalan aralıkları, yerel ekstremum noktalarını belirler.
• MAT.12.4.8.c. Kesişim noktalarını, kritik noktaları ve uç davranışını birleştirerek derecesi en fazla 4 olan bir polinomun grafiğini adım adım çizer.
• MAT.12.4.8.ç. f ve f′ nün aynı koordinat sistemindeki grafikleri arasındaki ilişkiden (f′ nün kökleri, işareti) f hakkında önermeler sunar.
• MAT.12.4.8.d. Ekstremum değerlerini kullanarak f(x) = h denkleminin kök sayısını ve grafiğin x eksenine teğet olma koşulunu parametrik durumlarda değerlendirir.

Konu anlatımı

1. 1. Grafik çizmek için türev neden gerekli?

2. 2. Beş adımda grafik çizimi

3. 3. Üçüncü ve dördüncü derece örnekler

4. 4. f ve f′ nü aynı koordinat sisteminde okumak

5. 5. y = h doğrusu: f(x) = h denkleminin kök sayısı

6. 6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

Anahtar terimler

Kök katlılığı

Tek katlı kökte eğri x eksenini keser; çift katlı kökte eksene teğet olur; üç katlı kökte eksenden yataylaşarak geçer.

İşaret tablosu

f′ nün köklerinin ayırdığı aralıklarda f′ nün işaretini ve f nin yönünü gösteren tablo.

Kritik nokta

f′(x) = 0 olan nokta; yerel maksimum, yerel minimum ya da ekstremum olmayan bir geçiş noktası olabilir.

Uç davranışı

x → ±∞ iken polinomun gittiği yön; baş terimin derecesi ve işaretiyle belirlenir.

Baş katsayı

Polinomun en yüksek dereceli terimin katsayısı.

Yatay doğru y = h

f(x) = h denkleminin gerçek köklerinin sayısı, bu doğru ile f nin grafiğinin kesişim sayısına eşittir.

x eksenine teğet olma

Bir yerel ekstremum değerinin 0 olması; denklemin çift katlı kökü vardır.

Örnek soru

$f(x) = x^3 - 3x^2$ fonksiyonunun eğrisi x eksenini kaç farklı noktada keser ya da eksene dokunur?

1. $0$
2. $1$
3. $2$
4. $3$
5. $4$

Doğru cevap: C

Çözüm

1. $f(x) = x^2(x - 3)$ biçiminde çarpanlanır.
2. Kökler: $x = 0$ (çift katlı, eğri eksene teğet) ve $x = 3$ (tek katlı, eksenden geçer).
3. Farklı kesişim noktaları $(0, 0)$ ve $(3, 0)$ olmak üzere $2$ tanedir.
Doğru cevap: C. D şıkkı "derece 3 ise 3 nokta" sanmaktır; çift katlı kök tek nokta sayılır.

12. Sınıf Matematik: tüm konular