12. Sınıf Matematik · 6. Ünite: Değişimin Matematiği: Türev
Türevin Olmadığı Noktalar
Türev bir noktadaki teğetin eğimidir; ama her grafikte her noktada tek bir teğet çizilemez. Bir kâğıdı ortadan büküp açtığında oluşan kırışıklık gibi köşelerde, kopukluklarda ve dik yükselen noktalarda türev yoktur. Bu konuda sağdan ve soldan türev kavramıyla hangi durumlarda türevin bulunmadığını tahmin edecek, genelleyecek ve türev ile süreklilik arasındaki ilişkiyi yorumlayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.12.4.6.a. Limit ve türev tanımı bilgisinden yararlanarak bir fonksiyonun bir noktasında hangi durumlarda türevinin olmadığına ilişkin varsayımlarda bulunur.
- MAT.12.4.6.b. Süreksizlik, köşe (kırılma) ve dikey teğet durumlarını listeleyerek türevin olmadığı durumlara ilişkin örüntüleri geneller.
- MAT.12.4.6.c. Genellemelerini varsayımlarıyla karşılaştırır; sağdan ve soldan türevi tablo ve grafikle hesaplar.
- MAT.12.4.6.ç. Türevin olmadığı durumlara ilişkin genellemelerini önerme olarak ifade eder.
- MAT.12.4.6.d. Önermeleri türev–süreklilik ilişkisi bağlamında değerlendirir; parçalı fonksiyonlarda türevlenebilirlik koşullarından bilinmeyen katsayıları bulur.
Konu anlatımı
1. Her noktada teğet çizilebilir mi?
2. Sağdan türev ve soldan türev
3. Türevin olmadığı üç tipik durum
4. Türev ile süreklilik arasındaki ilişki
5. Parçalı fonksiyonlarda türevlenebilirlik
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Sağdan türev
- h → 0⁺ iken [f(a+h) − f(a)] / h limiti; f′₊(a) ile gösterilir.
- Soldan türev
- h → 0⁻ iken [f(a+h) − f(a)] / h limiti; f′₋(a) ile gösterilir.
- Türevlenebilirlik koşulu
- f′(a) vardır ancak ve ancak sağdan ve soldan türev sonlu ve eşit olduğunda.
- Köşe (kırılma noktası)
- Fonksiyonun sürekli olduğu fakat sol ve sağ eğimlerin farklı olduğu nokta.
- Süreksizlik
- Limit ile fonksiyon değerinin ya da sol-sağ limitlerin eşit olmadığı nokta; orada türev yoktur.
- Dikey teğet
- Fark bölümünün ±∞'a gittiği durum; teğet doğrusu x = a dikey doğrusudur, türev yoktur.
- Parçalı fonksiyon
- Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı kurallarla verilen fonksiyon.
- Türev–süreklilik ilişkisi
- Türevli olan fonksiyon süreklidir; sürekli olan fonksiyon türevli olmak zorunda değildir.
Örnek soru
$f(x) = |x|$ fonksiyonu için $x = 0$ noktasında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- Türevi $0$'dır, çünkü grafik $x=0$'da en küçük değerini alır.
- Türevi $1$'dir.
- Türevi $-1$'dir.
- Soldan türevi $1$, sağdan türevi $-1$ olduğundan türevi yoktur.
- Soldan türevi $-1$, sağdan türevi $1$ olduğundan türevi yoktur.
Doğru cevap: E
Çözüm
1. $h>0$ için $\dfrac{|h| - 0}{h} = 1$; sağdan türev $1$.
2. $h<0$ için $\dfrac{|h| - 0}{h} = \dfrac{-h}{h} = -1$; soldan türev $-1$.
3. İki değer farklı olduğundan $f'(0)$ yoktur.
Doğru cevap: E. D şıkkı yönleri ters yazmıştır. A şıkkında "en küçük değer" türevin $0$ olduğu anlamına gelmez; bu yalnızca türev varsa geçerlidir (köşede türev yoktur).