12. Sınıf Matematik · 7. Ünite: Değişimin Matematiği: Türevin Uygulamaları
Türev Uygulamaları: Optimizasyon ve Değişim Hızı
Elinde sınırlı tel, karton ya da para varken en büyük alanı, en geniş hacmi ya da en yüksek kârı nasıl elde edersin? Üretim yapan bir firma, kaplama malzemesinden tasarruf etmek isteyen bir ambalaj tasarımcısı ya da şişen bir balonun büyüme hızını merak eden bir mühendis aynı aracı kullanır: türev. Bu konuda gerçek yaşam problemini tek değişkenli bir fonksiyona çevirmeyi, türevle en büyük ya da en küçük değeri bulmayı, sonucu farklı bir yöntemle doğrulamayı ve geometrik cisimlerde hacim ya da yüzey alanının değişim hızını hesaplamayı öğreneceksin.
Kazanımlar
- MAT.12.4.9.a. Problemdeki değişkenleri ve bunlar arasındaki ilişkiyi belirleyerek en büyük ya da en küçük yapılması istenen büyüklüğü tek değişkenli fonksiyon olarak yazar.
- MAT.12.4.9.b. Fonksiyonun tanım aralığını bağlamdan belirler; türevini sıfıra eşitleyip kritik noktayı bulur ve f′ nün işaretinden maksimum mu minimum mu olduğuna karar verir.
- MAT.12.4.9.c. Mutlak ekstremumu kritik noktalar ve tanım aralığının uç noktalarını karşılaştırarak belirler.
- MAT.12.4.9.ç. Elde ettiği çözümü farklı yöntemlerle (komşu değerler tablosu, grafik, tepe noktası formülü) doğrular.
- MAT.12.4.9.d. Küre ve küpte yarıçap ya da ayrıt zamanla değişirken hacim ve yüzey alanının değişim hızını zincir kuralıyla hesaplar ve bağlamda yorumlar.
Konu anlatımı
1. Neden "en iyi" olanı türev bulur?
2. Altı adımlı çözüm stratejisi
3. Alan ve hacim problemleri
4. Kâr ve maliyet problemleri
5. En az malzeme: silindir problemi
6. Mutlak ekstremum ve farklı yöntemlerle doğrulama
7. Değişim hızı: zincir kuralı ile iki fonksiyon
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Optimizasyon
- Bir büyüklüğün (alan, hacim, kâr, yüzey alanı) en büyük ya da en küçük değerini bulma problemi.
- Kısıt denklemi
- Değişkenler arasındaki sabit ilişki (örneğin 2x + y = 40); fonksiyonu tek değişkene indirmek için kullanılır.
- Tanım aralığı
- Bağlamdan gelen sınırlarla belirlenen değişkenin geçerli değerleri; uç noktalar mutlak ekstremum adayıdır.
- Mutlak maksimum / minimum
- Tanım aralığındaki en büyük (en küçük) fonksiyon değeri.
- Değişim hızı
- Bir büyüklüğün zamana göre türevi; hacmin ya da yüzey alanının o andaki artış hızı.
- Zincir kuralı
- İç içe fonksiyonların türevi: dV/dt = V′(r) · r′(t).
- Kritik nokta
- F′ = 0 olan nokta; maksimum, minimum ya da hiçbiri olabilir.
- Doğrulama
- Bulunan çözümü komşu değerler, grafik ya da cebirsel özellik gibi farklı bir yöntemle sınama.
Örnek soru
Bir duvara dayalı dikdörtgen biçimli bir bahçenin duvarsız üç kenarına $60$ m tel çekilecektir. Bahçenin alanı en çok kaç m² olabilir?
- $225$
- $300$
- $400$
- $450$
- $900$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Duvara dik kenar $x$ ise duvara paralel kenar $60 - 2x$; alan $A(x) = x(60 - 2x)$, $0 < x < 30$.
2. $A'(x) = 60 - 4x = 0 \Rightarrow x = 15$; $A'$ nün işareti $+ \to -$ olduğundan maksimum.
3. $A(15) = 15 \cdot 30 = 450$ m².
Doğru cevap: D. A şıkkı $15^2$ yi alandır sanmaktır (dikdörtgenin kare olmadığına dikkat et); E şıkkı $30^2$ ile yapılan benzer bir hatadır.