9. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Eşlik ve Benzerlik
Bir Üçgene Benzer Üçgenler Oluşturma
Bir ustanın çatı makasının içine, tabana paralel bir çıta çaktığını düşün: çıtanın üstünde kalan küçük üçgen, tüm çatı üçgeninin tam bir küçültülmüşüdür. Elinde yalnızca bir üçgen varken ona benzer yeni üçgenler elde etmenin iki sağlam yolu vardır: bir kenara paralel çizmek ve dik üçgende hipotenüse yükseklik indirmek. Bu konuda iki yöntemi de kuracak, oluşan üçgenlerin neden benzer olduğunu eşlik ve benzerlik deneyimlerinle gerekçelendirecek ve oranları problemlerde kullanacaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.4.3.a. Bir üçgene benzer üçgenler oluştururken AA, KAK ve KKK benzerlik koşullarını ve açı ilişkilerini (ortak açı, yöndeş açı) gözden geçirir.
- MAT.9.4.3.b. Bir kenara paralel çizerek üçgenin içinde ve dışında oluşan ADE üçgeninin ABC üçgenine benzer olduğunu ve benzerlik oranının |AD| / |AB| olduğunu çıkarır.
- MAT.9.4.3.b. Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklikle oluşan HBA ve HAC üçgenlerinin hem ABC üçgenine hem birbirine benzer olduğunu köşe sırasına dikkat ederek yazar.
- MAT.9.4.3.c. Oluşturduğu benzer üçgenlerden elde ettiği orantıları kullanarak bilinmeyen kenar uzunluklarını bulur ve çıkarımlarını farklı problem durumlarında değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Elimizde bir üçgen var: ona benzerini nasıl üretiriz?
2. Bir kenara paralel çizme
3. Dik üçgende hipotenüse yükseklik
4. Benzerliği doğru yazmak ve orantıyı kurmak
5. Sık yapılan hatalar
Anahtar terimler
- Paralel çizme
- Bir üçgenin bir kenarına paralel doğru parçası çizerek ortak açı ve yöndeş açılar yoluyla yeni bir benzer üçgen elde etme yöntemi.
- Yöndeş açılar
- İki paralel doğruyu bir kesen kesti ile oluşan ve aynı yönde bulunan eşit açılar.
- Ortak açı
- İki üçgenin de içinde bulunan, aynı köşedeki açı; ADE ve ABC üçgenlerinde $\angle A$.
- Benzerlik oranı
- Karşılıklı kenar uzunluklarının oranı; paralel çizmede $t = |AD| / |AB|$.
- AA benzerliği
- İki açısı karşılıklı eşit olan üçgenlerin benzer olması; üçüncü açı kendiliğinden eşit çıkar.
- Hipotenüse indirilen yükseklik
- Dik üçgenin dik köşesinden hipotenüse çizilen dikme; ayağı $H$ ile gösterilir ve dik üçgeni iki benzer dik üçgene ayırır.
- Köşe eşlemesi
- Benzerliği yazarken eşit açılı köşelerin aynı sırayla yazılması; orantı bu sıraya göre kurulur.
- Hipotenüs ve dik kenarlar
- Dik üçgende dik açının karşısındaki en uzun kenar hipotenüs, dik açıyı oluşturan kenarlar dik kenarlardır.
Örnek soru
$ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$, $E \in [AC]$ ve DE // BC'dir. $|AD| = 4$, $|DB| = 6$ ve $|BC| = 15$ ise $|DE|$ kaçtır?
- $4$
- $6$
- $7{,}5$
- $9$
- $10$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. DE // BC olduğundan $ADE \sim ABC$ (AA). Benzerlik oranı $t = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{4 + 6} = \frac{2}{5}$.
2. $|DE| = t\cdot|BC| = \frac{2}{5}\cdot 15 = 6$.
Doğru cevap: B. $9$ şıkkı $\frac{|DB|}{|AB|}\cdot 15$ hesabıdır (yanlış parça); $10$ şıkkı $\frac{|AD|}{|DB|}\cdot 15$ gibi parça/parça orantısını benzerlik oranı sanmaktır.