9. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Eşlik ve Benzerlik
Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri
Tales bir piramidin boyunu, kendi gölgesini ölçerek bulmuştu; Pisagor ve Öklid'in teoremleri ise ustaların bir köşenin tam dik olup olmadığını ipin boyundan anlamasını sağlar. Üçü de aynı fikre dayanır: benzer üçgenler. Bu konuda Tales ve Öklid teoremlerini benzer üçgenler kurarak ispatlayacak, Pisagor teoremini Öklid bağıntılarından elde edecek ve kenarların kareleri arasındaki ilişkiyi dar ve geniş açılı üçgenlerde de yorumlayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.4.4.a. Tales teoremini (üçgende ve paralel doğrularda) benzer üçgenler oluşturarak ispatlar ve orantıları uygular.
- MAT.9.4.4.a. Öklid teoremini (h² = p·q, c² = p·a, b² = q·a) dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklikle oluşan benzer üçgenlerden ispatlar.
- MAT.9.4.4.a. Pisagor teoremini Öklid bağıntılarının taraf tarafa toplanmasıyla ispatlar.
- MAT.9.4.4.b. Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerini ve ispat yöntemlerini yeni durumlara uyarlar (uzantıdaki noktalar, bilinmeyen kenarlar).
- MAT.9.4.4.b. Dar, dik ve geniş açılı üçgenlerde en uzun kenarın karesi ile diğer iki kenarın kareleri toplamı arasındaki ilişkiyi yorumlayarak üçgenin türünü belirler.
Konu anlatımı
1. Üç teorem, tek fikir
2. Tales teoremi
3. Öklid teoremi
4. Pisagor teoremi
5. Dar ve geniş açılı üçgenlerde kenar kareleri
6. Hangi teoremi ne zaman kullanırız?
7. Sık yapılan hatalar
Anahtar terimler
- Tales teoremi
- Bir kenara paralel doğru, diğer kenarları orantılı parçalara ayırır; üç paralel doğru iki kesende orantılı parçalar oluşturur.
- Öklid teoremi
- Dik üçgende hipotenüse inen yükseklik ve dik kenarlar için $h^2 = p\cdot q$, $c^2 = p\cdot a$, $b^2 = q\cdot a$ bağıntıları.
- Pisagor teoremi
- Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: $b^2 + c^2 = a^2$.
- İspat
- Bir önermenin doğruluğunu bilinen önermelerden (burada benzerlikten) mantıksal adımlarla gösterme.
- Hipotenüs
- Dik üçgende dik açının karşısındaki en uzun kenar ($a$).
- Hipotenüse indirilen yükseklik
- Dik köşeden hipotenüse çizilen dikme $[AH]$; hipotenüsü $p = |BH|$ ve $q = |HC|$ parçalarına ayırır.
- Orantılı parçalar
- Oranları eşit olan uzunluk çiftleri; Tales teoreminin sonucudur.
- Dar ve geniş açılı üçgen
- En büyük açısı $90^\circ$'den küçük (dar) ya da büyük (geniş) üçgen; en uzun kenarın karesi diğerlerinin kareleri toplamından küçük (dar) ya da büyüktür (geniş).
Örnek soru
$ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$, $E \in [AC]$ ve DE // BC'dir. $|AD| = 3$, $|DB| = 5$ ve $|AE| = 6$ ise $|EC|$ kaçtır?
- $3{,}6$
- $8$
- $9$
- $10$
- $12$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Tales teoremi: DE // BC ise $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$.
2. $\frac{3}{5} = \frac{6}{|EC|}$ olduğundan $|EC| = \frac{6\cdot 5}{3} = 10$.
Doğru cevap: D. $3{,}6$ şıkkı oranı ters kurmaktır ($\frac{6\cdot 3}{5}$); $8$ şıkkı $6 + (5 - 3)$ gibi toplamsal akıl yürütmedir. Tales'te oranlar çarpımla kurulur.