9. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Eşlik ve Benzerlik
Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Koşulları
Bir fotoğrafı bilgisayarda büyüttüğünde şekil aynı kalır ama boyutu değişir; aynı kalıptan çıkan iki çatı makasının ise hem biçimi hem boyutu birbirinin aynısıdır. Matematikte ilkine benzerlik, ikincisine eşlik denir. Bu konuda iki üçgenin eş ya da benzer olduğunu kanıtlamak için hangi bilgilerin yeterli olduğunu örnekler üzerinden keşfedecek, en az bilgiyle (asgari koşullarla) karar vermeyi öğrenecek ve hangi bilgilerin yetmediğini karşı örneklerle göreceksin.
Kazanımlar
- MAT.9.4.2.a. İki üçgenin eş veya benzer olması için gereken koşullara ilişkin varsayımlarda bulunur (ör. "iki açı eşitse üçgenler benzerdir").
- MAT.9.4.2.b. Verilen üç elemanla (KKK, KAK, AKA) çizilen üçgenleri inceleyerek eşlik koşullarına ilişkin örüntüleri genellemeler.
- MAT.9.4.2.c. Varsayımlarını genellemelerle karşılaştırır; KKA ve AAA verilerinin neden eşlik koşulu olmadığını karşı örnekle gösterir.
- MAT.9.4.2.ç. AA, KAK ve KKK benzerlik koşullarını ve benzer üçgenlerde açıların eşitliğini, kenarların orantılılığını önerme olarak ifade eder.
- MAT.9.4.2.d. Eş üçgenlerin benzerlik oranının 1 olduğunu ve bu koşulların yeni durumlarda (bilinmeyen kenar ya da açı bulma) sağladığı katkıyı değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Aynı mı, benzer mi?
2. Eşlik koşulları: KKK, KAK, AKA
3. Hangi üç bilgi yetmez? KKA ve AAA
4. Benzerlik ve benzerlik oranı
5. Koşulları kullanarak karar verme
6. Sık yapılan hatalar
Anahtar terimler
- Eş üçgenler
- Tüm karşılıklı kenarları ve açıları eşit olan, üst üste tam oturan üçgenler; $ABC \cong DEF$.
- Benzer üçgenler
- Karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenler; $ABC \sim DEF$.
- Benzerlik oranı
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı $k$; $k = 1$ ise üçgenler eştir.
- KKK
- Üç kenarın eşit (eşlikte) ya da orantılı (benzerlikte) olması; hem eşlik hem benzerlik koşulu.
- KAK
- İki kenar ve bu kenarların arasındaki açı eşit ya da kenarlar orantılı; hem eşlik hem benzerlik koşulu.
- AKA
- İki açı ve bu açıların arasındaki kenar eşit; eşlik koşuludur.
- AA
- İki açının eşit olması; üçüncü açı da eşit olduğundan benzerlik koşuludur, eşlik koşulu değildir.
- KKA
- İki kenar ve bir kenarın karşısındaki açı; aynı verilerle 0, 1 ya da 2 üçgen çizilebildiği için koşul değildir.
- AAA
- Üç açının eşitliği; yalnızca benzerlik verir, eşlik koşulu değildir.
- Karşılıklı elemanlar
- Eş ya da benzer üçgenlerde köşe sırasına göre birbirine karşılık gelen kenarlar ve açılar.
Örnek soru
Aşağıdaki verilerden hangisi iki üçgenin eş olduğunu garanti eder?
- Üç açının karşılıklı eşit olması
- İki kenarın ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açının karşılıklı eşit olması
- Bir kenarın ve bir açının karşılıklı eşit olması
- İki açının karşılıklı eşit olması
- Üç kenarın karşılıklı eşit olması
Doğru cevap: E
Çözüm
1. Eşlik koşulları KKK, KAK ve AKA'dır. Üç kenarı verilen üçgen tek türlü çizilebilir, yani KKK eşlik garantisi verir.
2. Üç açı (AAA) ve iki açı (AA) yalnızca benzerlik verir; boyutu belirleyen kenar uzunluğu yoktur.
3. İki kenar ve bir kenarın karşısındaki açı (KKA) aynı verilerle iki farklı üçgen verebilir.
4. Bir kenar ve bir açı üçgeni belirlemeye yetmez.
Doğru cevap: E.