9. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Sayılar
Cebirsel Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
$53^2$ yi hesap makinesi olmadan nasıl hızlı bulursun? $(50+3)^2$ yazıp parçalarına ayırarak! Ya da $101 \cdot 99$ u $(100+1)(100-1)$ olarak görerek. Gerçek sayıların işlem özelliklerinin cebirsel karşılığı olan özdeşlikler, bu tür kestirmeleri her sayı için geçerli kılar. Bu konuda toplamın karesi, farkın karesi ve iki kare farkı özdeşliklerini alan modeliyle keşfedecek, tersine işlemle çarpanlara ayıracak, $a \cdot b = 0$ ise $a = 0$ ya da $b = 0$ çıkarımını kullanacak ve özdeşlikleri üslü ve köklü ifadelerde uygulayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.1.4.a. $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $a^2-b^2$ ve $(x+p)(x+q)$ açılımlarını alan modeliyle gözlemler, terimleri alanlarla eşleştirir.
- MAT.9.1.4.b. Gözlemlerinden cebirsel özdeşlikleri belirler ve bir özdeşliğin her değer için geçerli olduğunu, iki yanı genişleterek ya da sayısal örnekle sınayarak doğrular.
- MAT.9.1.4.c. Çarpanlara ayırmayı açılımın tersi olarak yorumlar; ortak çarpan, özdeşlik ve $x^2+bx+c$ yöntemlerinden uygun olanı seçerek ifadeyi çarpanlarına ayırır.
- MAT.9.1.4.c. $a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \vee b = 0$ çıkarımını, çarpanlara ayrılmış bir ifadenin sıfırlarını bulmada kullanır.
- MAT.9.1.4.c. Özdeşlikleri sayısal hesaplamalarda ve üslü-köklü ifadelerde ($(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$, eşlenik) kullanarak işlemi kolaylaştırır.
Konu anlatımı
1. Özdeşlik nedir? Bir hesaplama merakı
2. Alan modeliyle özdeşlikler
3. Özdeşliği doğrulamak
4. Çarpanlara ayırma: açılımın tersi
5. Çarpımın sıfır olması: a · b = 0 çıkarımı
6. Üslü ve köklü ifadelerde özdeşlik
7. Çözümlü örnekler
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Özdeşlik
- Değişkenlerin alabileceği bütün değerler için doğru olan eşitlik; denklemden farklı olarak her değerde geçerlidir.
- Toplamın ve farkın karesi
- $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$; alan modelinde iki kare ve iki dikdörtgenin alanı.
- İki kare farkı
- $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$; L biçimli şeklin dikdörtgene dönüşmesi.
- $(x+p)(x+q)$ açılımı
- $x^2 + (p + q)x + pq$; dört parçalı dikdörtgenin alanı.
- Çarpanlara ayırma
- İfadeyi çarpım biçiminde yazma; açma işleminin tersidir.
- Ortak çarpan
- Bütün terimlerde bulunan sayı ve değişken çarpan; parantez dışına alınır.
- Tam kare
- $a^2 \pm 2ab + b^2$ biçiminde olan, $(a \pm b)^2$ ye eşit üç terimli ifade.
- Çarpım–toplam yöntemi
- $x^2 + bx + c$ için çarpımı $c$, toplamı $b$ olan iki sayıyı bulma.
- Çarpımın sıfır olması
- $a \cdot b = 0$ ancak ve ancak $a = 0$ ya da $b = 0$ iken doğrudur.
- Eşlenik
- $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ nin eşleniği $\sqrt{a} - \sqrt{b}$; çarpımları iki kare farkı özdeşliğiyle $a - b$ olur.
Örnek soru
$(3x + 2)^2$ ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir?
- $9x^2 + 4$
- $3x^2 + 12x + 4$
- $9x^2 + 6x + 4$
- $9x^2 + 12x + 2$
- $9x^2 + 12x + 4$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğinde $a = 3x$, $b = 2$.
2. $a^2 = 9x^2$, $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$, $b^2 = 4$.
3. Sonuç $9x^2 + 12x + 4$.
4. A şıkkı ortadaki $2ab$ terimini unutmaktan, C şıkkı ise orta terimi $2 \cdot$ yerine $3x \cdot 2$ almaktan gelir.
Doğru cevap: E.