9. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Doğrusal Fonksiyon ve Nitel Özellikleri
Taksimetrede yol uzadıkça ücret artar, açık bırakılan bir musluk depoyu doldurur, soğuyan çay her dakika biraz daha serinler. Bu olayların ortak yanı, bir niceliğin başka bir niceliğe düzenli bir hızla bağlı olmasıdır. Bu konuda en yalın doğrusal fonksiyondan, $f(x)=x$ referans fonksiyonundan başlayacak, onun nitel özelliklerini (tanım ve görüntü kümesi, sıfır, işaret, artanlık-azalanlık, en büyük-en küçük değer, bire birlik) belirleyecek ve $g(x)=mx+n$ biçimindeki her doğrusal fonksiyon için bu özellikleri hem grafikten hem cebirden çıkaracaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.2.1.a. $f(x)=x$ referans fonksiyonunun tanım kümesini, görüntü kümesini, sıfırını, işaretini, artanlığını ve bire birliğini grafik ve cebirsel temsilden belirler.
- MAT.9.2.1.b. $g(x)=mx+n$ fonksiyonunda eğim ve y-kesim değerinin grafiği, sıfırı ve işaret tablosunu nasıl belirlediğini açıklar.
- MAT.9.2.1.d. Referans fonksiyonun özelliklerinden hareketle $m>0$, $m<0$ ve $m=0$ durumları için doğrusal fonksiyonun artan, azalan ya da sabit olacağına ilişkin varsayım kurar ve grafikte sınar.
- MAT.9.2.1.e. $x_1<x_2$ için $g(x_2)-g(x_1)=m(x_2-x_1)$ eşitliğinden artanlık-azalanlığı cebirsel olarak ispatlar.
- MAT.9.2.1.h. $g(x_1)=g(x_2)$ eşitliğinden $x_1=x_2$ sonucuna ulaşarak $m\neq 0$ iken bire birliği ispatlar; sabit fonksiyonun neden bire bir olmadığını gösterir.
- MAT.9.2.1.ğ. Doğrusal bir ilişkinin gerçek yaşam bağlamında eğimin, y-kesimin ve sıfırın anlamını yorumlar.
Konu anlatımı
1. Değişimi bir kural ile anlatmak
2. Referans fonksiyon: f(x) = x
3. g(x) = mx + n: eğim ve y-kesim
4. Artanlığı ve bire birliği cebirle kanıtlamak
5. İşaret tablosu
6. Çözümlü örnekler
7. Simülasyonda dene ve grafikten oku
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Doğrusal fonksiyon
- $g(x)=mx+n$ biçiminde yazılabilen, grafiği doğru olan fonksiyon.
- Referans fonksiyon
- Diğer doğrusal fonksiyonların kendisinden türetildiği $f(x)=x$ fonksiyonu.
- Bağımlı ve bağımsız değişken
- Değerini serbestçe seçtiğimiz değişken bağımsız ($x$); değeri ona bağlı olarak bulunan değişken bağımlıdır ($y$).
- Eğim
- $x$ bir birim arttığında $g(x)$'in değişim miktarı; $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- Fonksiyonun sıfırı
- $g(x)=0$ eşitliğini sağlayan $x$ değeri; grafiğin $x$ eksenini kestiği nokta.
- İşaret tablosu
- Fonksiyonun hangi aralıklarda pozitif, hangilerinde negatif olduğunu gösteren tablo.
- Artan ve azalan fonksiyon
- $x_1<x_2$ iken $g(x_1)<g(x_2)$ ise artan, $g(x_1)>g(x_2)$ ise azalandır.
- Bire bir fonksiyon
- Farklı girdilere farklı çıktılar karşılık gelen fonksiyon; her yatay doğru grafiği en çok bir noktada keser.
- Sabit fonksiyon
- $m=0$ olan $g(x)=n$ fonksiyonu; her girdi için aynı değeri alır, bire bir değildir.
- Görüntü kümesi
- Fonksiyonun aldığı bütün değerlerin kümesi.
Örnek soru
$f(x)=x$ referans fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
- Tanım kümesi $\mathbb{R}$'dir.
- Tüm $\mathbb{R}$'de artandır.
- En küçük değeri $0$'dır.
- Bire birdir.
- Sıfırı $x=0$'dır.
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $f(x)=x$ her gerçek sayıyı kendisine götürür; hem tanım hem görüntü kümesi $\mathbb{R}$'dir.
2. $x_1<x_2$ iken $f(x_1)<f(x_2)$ olduğundan fonksiyon artandır ve farklı girdiler farklı çıktı verdiği için bire birdir.
3. Sıfırı $x=0$'dır. Ancak görüntü kümesi $\mathbb{R}$ olduğundan negatif değerler de alınır; fonksiyonun en küçük değeri yoktur.
Yanlış olan ifade C'dir. $0$ yalnızca sıfırdır, en küçük değer değildir; $f(-5)=-5<0$.