9. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Sayılar
Önermeler, Niceleyiciler ve İşlem Özellikleri
"Her öğrenci ödevini yaptı" cümlesini çürütmek için kaç öğrencinin ödevini yapmadığını göstermek gerekir? Tek bir tane yeter. Matematik, böyle cümleleri kesin ve kısa yazmak için kendi dilini kurar: önermeler, "ve", "veya", "ise" gibi bağlaçlar, "her" ve "bazı" gibi niceleyiciler. Bu konuda önermeleri sözel ve sembolik biçimde yazacak, doğruluk değerlerini bulacak, önermenin değilini kuracak ve toplama ile çarpmanın değişme, birleşme, birim, ters, yutan eleman ve dağılma özelliklerini bu dille ifade edip sayı kümelerinde sınayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.1.4.a. Verilen ifadenin önerme olup olmadığını belirler; önermeyi sözel ve sembolik biçimde yazar.
- MAT.9.1.4.a-b. $\neg$, $\wedge$, $\vee$, "ya da", $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$ bağlaçlarıyla kurulan önermelerin doğruluk değerini doğruluk tablosuyla bulur.
- MAT.9.1.4.b-c. Niceleyicili önermelerin ($\forall$, $\exists$) doğruluk değerini belirler ve değilini kurar; "her" önermesini karşıt örnekle çürütür.
- MAT.9.1.4.b. Toplama ve çarpmanın değişme, birleşme, birim, ters, yutan eleman ve dağılma özelliklerini $\forall$, $\exists$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$ sembolleriyle yazar.
- MAT.9.1.4.c. $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ kümelerinde bir işlemin bir özelliği sağlayıp sağlamadığını örnek ve karşıt örnekle inceler.
Konu anlatımı
1. Önerme nedir?
2. Değil ve mantık bağlaçları
3. Niceleyiciler: her ve bazı
4. İşlem özelliklerini sembollerle yazmak
5. Çözümlü örnekler
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Önerme
- Doğru ya da yanlış olduğuna kesin olarak karar verilebilen ifade.
- Açık önerme
- Değişken içeren; değişkene değer verilince önerme olan ifade ($x + 3 > 5$).
- Değil ($\neg$)
- Önermenin doğruluk değerini tersine çeviren işlem.
- Ve, veya, ya da
- $\wedge$: ikisi de doğruysa doğru; $\vee$: en az biri doğruysa doğru; $\oplus$: yalnızca biri doğruysa doğru.
- İse ve ancak ve ancak
- $p \Rightarrow q$ yalnızca ($p$ D, $q$ Y) iken yanlış; $p \Leftrightarrow q$ aynı değerde iken doğru.
- Denk önermeler
- Doğruluk tablosu sütunları aynı olan önermeler; $p \Rightarrow q \equiv \neg p \vee q$.
- Niceleyici
- $\forall$ (her) ve $\exists$ (bazı, en az bir); açık önermeyi önermeye dönüştürür.
- Karşıt örnek
- "Her" önermesinin yanlış olduğunu gösteren tek bir örnek.
- Birim ve yutan eleman
- Birim: $a * e = a$ yapan eleman (toplamada $0$, çarpmada $1$); yutan: $a * z = z$ yapan eleman (çarpmada $0$).
- Ters eleman
- İşlem sonucunu birim elemana eşitleyen eleman; toplamada $-a$, çarpmada $\dfrac{1}{a}$.
Örnek soru
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önermedir?
- $\sqrt{2}$ irrasyonel bir sayıdır.
- Kapıyı kapat.
- $x + 3 > 5$
- Bu sayı çok büyüktür.
- Hava ne kadar güzel!
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Önerme, doğru ya da yanlış olduğuna kesin karar verilebilen ifadedir.
2. "$\sqrt{2}$ irrasyonel bir sayıdır." doğrudur; bir önermedir.
3. "Kapıyı kapat." bir emirdir; "Bu sayı çok büyüktür." ve "Hava ne kadar güzel!" görüşe bağlıdır.
4. "$x + 3 > 5$" değişkene bağlıdır; $x$ e değer verilmeden doğruluk değeri belirlenmez (açık önerme).
Doğru cevap: A.