9. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Doğrusal Fonksiyonlarda Dönüşümler ve Parçalı Fonksiyonlar
Bir fotoğrafı büyütür, çevirir ya da kaydırırsın ama fotoğrafın "ne" olduğu değişmez. Grafikler için de benzer bir şey geçerli: $f(x)=x$ referans doğrusunu yukarı-aşağı, sağa-sola kaydırarak ya da eğimini değiştirerek her doğrusal fonksiyonu elde edebilirsin. Bu konuda $g(x)=a\cdot f(x-r)+k$ dönüşümünde $a$, $r$ ve $k$'nin grafiğe etkisini aşamalı olarak çözecek, iki doğrunun kesişimini bulacak ve her aralıkta farklı bir kuralla tanımlanan parçalı fonksiyonları (ısıtılan buzun sıcaklık-zaman grafiği gibi) yorumlayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.2.1.c. $f(x)=x$ referans fonksiyonunun grafiği ve cebirsel ifadesi üzerinde $g(x)=a\cdot f(x-r)+k$ dönüşümlerini uygulayarak yeni doğrusal fonksiyonlar elde eder.
- MAT.9.2.1.ç. $a$, $r$ ve $k$ katsayılarının doğrunun eğimine, $y$-kesimine ve sıfırına etkisini grafik ve cebirsel temsil arasında ilişkilendirerek açıklar.
- MAT.9.2.1.d. $k=0$ ya da $r=0$ gibi özel durumlardan hareketle genel dönüşümün sonucuna ilişkin varsayım kurar ve grafikte sınar.
- MAT.9.2.1.e. İki doğrusal fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktasını cebirsel (eşitlik kurarak) ve grafiksel olarak belirler.
- MAT.9.2.1.g. Her aralığında farklı doğrusal kural tanımlı parçalı fonksiyonda verilen bir $x$ için doğru kuralı seçip fonksiyon değerini hesaplar; kırılma noktasında grafiğin kopuk olup olmadığını belirler.
- MAT.9.2.1.ğ. Isıtılan buzun sıcaklık-zaman grafiği gibi gerçek yaşam verilerini parçalı doğrusal fonksiyonla modelleyip her parçanın anlamını yorumlar.
Konu anlatımı
1. Referans doğruyu dönüştürmek
2. Tek tek etkiler: k, r ve a
3. Hepsi birlikte: g(x) = a(x − r) + k
4. İki doğrunun kesişimi
5. Parçalı fonksiyonlar
6. Gerçek yaşamdan: ısıtılan buzun sıcaklık-zaman grafiği
7. Çözümlü örnekler
8. Simülasyonda dene
9. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Dönüşüm
- Referans fonksiyonun grafiğini kaydırma, ölçekleme ve yansıtma ile başka bir fonksiyona götürme işlemi: $g(x)=a\cdot f(x-r)+k$.
- Düşey kayma ($k$)
- $f(x)+k$ ile grafiğin yukarı ($k>0$) ya da aşağı ($k<0$) taşınması.
- Yatay kayma ($r$)
- $f(x-r)$ ile grafiğin sağa ($r>0$) ya da sola ($r<0$) taşınması.
- Yansıma
- $a<0$ iken grafiğin $x$ eksenine göre simetriğinin alınması.
- Kesişim noktası
- İki grafiğin ortak noktası; $g(x)=h(x)$ eşitliğinin çözümü ve o noktadaki değer.
- Parçalı fonksiyon
- Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyon.
- Kırılma noktası
- Parçalı fonksiyonda kuralın değiştiği $x$ değeri.
- Sıçrama (kopukluk)
- Kırılma noktasında iki kuralın farklı değer vermesiyle grafiğin kopması.
- Paralel doğrular
- Eğimleri eşit, $y$-kesimleri farklı doğrular; kesişmezler.
Örnek soru
$f(x)=x$ referans doğrusu $3$ birim yukarı kaydırılırsa elde edilen $g$ fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
- $g(x)=x-3$
- $g(x)=x+3$
- $g(x)=3x$
- $g(x)=\dfrac{x}{3}$
- $g(x)=3-x$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Grafiği yukarı kaydırmak, her çıktıya aynı sayıyı eklemektir: $g(x)=f(x)+k$.
2. $k=3$ olduğundan $g(x)=x+3$ bulunur.
3. Kontrol: $g(0)=3$; grafik $y$ eksenini $3$'te keser, yani $3$ birim yukarıdadır.
Doğru cevap: B. $x-3$ aşağı kaydırmadır; $3x$ eğimi değiştirir, kaydırma yapmaz.