9. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Mutlak Değer Fonksiyonu
Evinle okul arasındaki mesafe, okuldan evine yürürken de gidişte de aynıdır; yön fark etmez. Uzaklık hiçbir zaman negatif olmaz. Mutlak değer tam olarak bu fikri anlatır ve $|x|$ fonksiyonu bir sayının $0$'a uzaklığını verir. Bu konuda $n(x)=\pm|x|$ ve $m(x)=\pm|ax+b|\pm c$ fonksiyonlarının grafiğini, doğrusal fonksiyonlarla kurduğun benzerliklerden yararlanarak çizecek; köşe noktasını, değer kümesini, sıfırlarını, artanlık ve azalanlık aralıklarını bulacak ve fonksiyonu iki doğrusal kuralla parçalı olarak yazacaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.2.2.a. $f(x)=x$ ile $n(x)=|x|$ fonksiyonları ile $h(x)=ax+b$ ile $m(x)=|h(x)|\pm c$ fonksiyonları arasındaki cebirsel ve grafiksel benzerlik ve farkları gözlemler.
- MAT.9.2.2.b. $m(x)=\pm|ax+b|\pm c$ fonksiyonunun köşe noktasını, simetri eksenini, değer kümesini, sıfırlarını, işaretini, artanlık-azalanlık aralıklarını ve en büyük-en küçük değerini belirler.
- MAT.9.2.2.c. Nitel özelliklerden hareketle $m(x)$ fonksiyonunu köşe noktasının iki yanı için iki doğrusal kural içeren parçalı biçimde yazar.
- MAT.9.2.2.c. $t(x)=\pm|ax+b|$ fonksiyonunun sıfırı ile grafiğinin $x$ eksenine köşede dokunması arasındaki ilişkiyi, işaretin hiç değişmediğini açıklayarak yorumlar.
- MAT.9.2.2.b. $|ax+b|=|a|\cdot|x-x_0|$ özelliğinden hareketle $a$, $b$ ve $c$ değerlerinin grafiğin açıklığını ve konumunu nasıl değiştirdiğine ilişkin genellemeler yapar.
Konu anlatımı
1. Uzaklık fikri: mutlak değer
2. Referans fonksiyon: n(x) = |x|
3. |ax + b|: doğrusal fonksiyonun mutlak değeri
4. m(x) = ±|ax + b| ± c: genel durum
5. t(x) = ±|ax + b|: sıfır ve grafik
6. Çözümlü örnekler
7. Simülasyonda dene
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Mutlak değer
- Bir sayının sayı doğrusunda $0$'a uzaklığı; $|x|=x$ ($x\ge0$) ve $|x|=-x$ ($x<0$).
- Mutlak değer fonksiyonu
- $m(x)=s\cdot|ax+b|+c$ biçiminde ($s=\pm1$, $a\neq0$) tanımlı, grafiği V ya da ters V olan fonksiyon.
- Köşe noktası
- Grafiğin yön değiştirdiği nokta; $m(x)=s\cdot|ax+b|+c$ için $\left(-\dfrac{b}{a};\,c\right)$.
- Simetri ekseni
- Grafiğin iki yanını birbirine yansıtan, köşeden geçen düşey doğru $x=-\dfrac{b}{a}$.
- Parçalı gösterim
- Fonksiyonu köşenin iki yanı için iki ayrı doğrusal kural olarak yazmak.
- Kol
- Köşeden başlayıp sonsuza giden doğru parçası; mutlak değer grafiği iki koldan oluşur.
- Değer kümesi
- $s=+1$ için $[c;\infty)$, $s=-1$ için $(-\infty;c]$.
- En küçük / en büyük değer
- V grafiğinde köşenin $y$ değeri en küçük; ters V grafiğinde en büyük değerdir.
- Fonksiyonun sıfırı
- Grafiğin $x$ eksenini kestiği ya da ona dokunduğu $x$ değeri; mutlak değer fonksiyonunda $0$, $1$ ya da $2$ tane olabilir.
Örnek soru
$n(x)=|x|$ referans fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- Bire birdir.
- Değer kümesi $\mathbb{R}$'dir.
- $(-\infty ; 0]$ aralığında artandır.
- En küçük değeri $0$'dır ve bu değeri yalnızca $x=0$'da alır.
- Simetri ekseni $x$ eksenidir.
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $|x|\ge0$ olduğundan değer kümesi $[0;\infty)$'dır ve en küçük değer $0$'dır; $|x|=0$ yalnızca $x=0$ için sağlanır.
2. $|-2|=|2|=2$ olduğundan fonksiyon bire bir değildir. $(-\infty;0]$ aralığında $x$ büyüdükçe $|x|$ küçülür, yani azalandır.
3. Grafik $x=0$ düşey doğrusuna ($y$ eksenine) göre simetriktir.
Doğru cevap: D. Değer kümesinin $\mathbb{R}$ olduğunu söylemek, mutlak değerin negatif olamayacağı gerçeğini atlamaktır.