9. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Doğrusal Modellerle Gerçek Yaşam Problemleri
Hangi taksiyi seçersen daha az ödersin? Bir ürün hangi fiyatta piyasada ne eksik ne fazla kalır? İki araç yolda ne zaman karşılaşır? Bir gölün su seviyesi hangi günde komşu gölle eşitlenir? Bu sorular, iki niceliğin düzenli değiştiği durumlarda doğrusal fonksiyonlarla yanıtlanabilir. Bu konuda gerçek yaşam bağlamlarından doğrusal modeller kuracak, iki modelin kesişimini ve karşılaştırmasını cebirsel ve grafiksel yoldan yapacak, bulduğun sonucun bağlamdaki anlamını yorumlayacak ve modelin nerede işe yaradığını, nerede yetersiz kaldığını değerlendireceksin.
Kazanımlar
- MAT.9.2.3.a. Taksi ücreti, arz-talep, hız-yol ve su seviyesi gibi bağlamlardaki iki niceliği bağımlı ve bağımsız değişken olarak belirler, $y=b+mx$ biçiminde doğrusal model kurar.
- MAT.9.2.3.b. Modelin başlangıç değeri $b$ ve değişim hızı $m$ ile problem bağlamındaki sabit ve birim değişim arasındaki ilişkiyi kurar.
- MAT.9.2.3.c. İki modelin eşitliğinden denklem, büyüklük karşılaştırmasından eşitsizlik kurar ve bunları grafik, tablo ve cebirsel temsiller arasında dönüştürerek çözer.
- MAT.9.2.3.ç. Kesişim noktasının ve çözüm kümesinin problem bağlamındaki anlamını (denge fiyatı, karşılaşma zamanı, eşit ücret) cümleyle ifade eder.
- MAT.9.2.3.ç. Grafiksel ve cebirsel çözüm stratejilerini karşılaştırır; modelin geçerli aralığını belirleyerek güçlü ve zayıf yönlerini değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Modelleme: gerçek durumdan fonksiyona
2. İki modeli karşılaştırmak: kesişim ve eşitsizlik
3. Arz-talep ve piyasa dengesi
4. Hız-yol ve ekoloji bağlamları
5. Çözümlü örnekler
6. Grafiksel ve cebirsel stratejiler, modelin sınırları
7. Simülasyonda dene
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Doğrusal model
- Düzenli (sabit hızla) değişen bir olayı $y=b+mx$ biçiminde anlatan fonksiyon.
- Başlangıç değeri ($b$)
- $x=0$ iken bağımlı değişkenin değeri; grafiğin $y$ eksenini kestiği yer.
- Birim değişim ($m$)
- Bağımsız değişken bir birim arttığında bağımlı değişkenin değişimi; doğrunun eğimi.
- Kesişim noktası
- İki modelin aynı değeri aldığı nokta; $A(x)=B(x)$ denkleminin çözümü.
- Arz
- Satıcıların belirli bir fiyattan satmak istediği miktar; fiyat arttıkça artar.
- Talep
- Alıcıların belirli bir fiyattan almak istediği miktar; fiyat arttıkça azalır.
- Denge fiyatı
- Arz ile talebin eşit olduğu fiyat; kesişimin $x$ değeridir.
- Modelin geçerli aralığı
- Bağlama göre anlamlı değerlerin (ör. negatif olamayan süre, miktar, ücret) bulunduğu $x$ aralığı.
- Model sınırlılığı
- Doğrusal modelin sabit değişim varsayımının her durumda gerçeği yansıtmaması.
Örnek soru
Bir taksi, yolcusundan $15$ ₺ açılış ücreti alıyor ve gidilen her kilometre için $6$ ₺ ekliyor. $x$ kilometrelik yolculuğun ücretini veren doğrusal model aşağıdakilerden hangisidir?
- $A(x)=6x+15$
- $A(x)=15x+6$
- $A(x)=21x$
- $A(x)=6x-15$
- $A(x)=\dfrac{15}{6}x$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Açılış ücreti yolculuk başlar başlamaz ödenir; $x=0$ iken ücret $15$ ₺ olmalıdır. Bu $y$-kesim değeri $b=15$.
2. Her km için $6$ ₺ eklendiğinden değişim hızı (eğim) $m=6$.
3. Model $A(x)=6x+15$. Kontrol: $A(0)=15$, $A(1)=21$.
Doğru cevap: A. B eğim ile başlangıç değerinin yerini değiştirir; D açılış ücretini çıkarır, oysa o ücrete eklenir.