9. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Doğrusal ve Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler
İki taksi şirketinin ücretini karşılaştırmak, bir üretim bandında parçanın kabul edilebilir ölçüsünü belirlemek, bir bütçenin hangi aralıkta kalacağını bulmak: hepsinde iki ifadeyi karşılaştırıp "ne zaman eşit, ne zaman biri büyük?" diye sorarsın. Bu konuda doğrusal ve mutlak değerli ifadelerle kurulan denklem ve eşitsizlikleri üç temsille çözmeyi öğreneceksin: cebirsel işlem, grafikte kesişim ve bölge okuma, sayı doğrusunda çözüm kümesi ve işaret tablosu. Her çözümü yerine koyarak kontrol edecek, yabancı kökleri ayıklayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.2.3.a. $f(x)=g(x)$, $f(x)<g(x)$, $f(x)\le g(x)$ ve $f(x)<0$ biçimindeki doğrusal denklem ve eşitsizliklerin bileşenlerini (iki doğrusal fonksiyon, sıfırları, eğimleri) belirler.
- MAT.9.2.3.b. Grafiklerin kesişim noktası ile denklemin çözümü, grafiklerin birbirine göre konumu ile eşitsizliğin çözüm kümesi arasındaki ilişkiyi açıklar.
- MAT.9.2.3.c. Doğrusal denklem ve eşitsizliği cebirsel işlem, işaret tablosu ve sayı doğrusu temsillerinden birine dönüştürerek çözüm kümesini aralık ve $\{\ldots\}$ gösterimiyle yazar.
- MAT.9.2.3.c. $|f(x)|=k$, $|f(x)|<k$, $|f(x)|\le k$, $|f(x)|>k$ ve $|f(x)|=g(x)$ biçimindeki mutlak değerli denklem ve eşitsizlikleri, iki kol ya da uzaklık yorumuyla çözer.
- MAT.9.2.3.ç. Bulduğu kökleri yerine koyarak kontrol eder, yabancı kökü gerekçesiyle eler ve çözüm kümesinin anlamını ifade eder.
Konu anlatımı
1. İki fonksiyonu karşılaştırmak
2. Doğrusal denklemler
3. Doğrusal eşitsizlikler
4. Mutlak değerli denklemler
5. Mutlak değerli eşitsizlikler
6. İşaret tablosu ve sayı doğrusu ile çözüm
7. Çözümlü örnekler
8. Simülasyonda dene
9. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Çözüm kümesi
- Bir denklem ya da eşitsizliği sağlayan bütün $x$ değerlerinin kümesi; $\text{Ç}$ ile gösterilir.
- Kesişim noktası
- İki grafiğin ortak noktası; $x$ koordinatı $f(x)=g(x)$ denkleminin çözümüdür.
- İşaret tablosu
- Bir ifadenin (ör. $f(x)-g(x)$) kritik noktaların oluşturduğu aralıklardaki işaretlerini gösteren tablo.
- Kritik nokta
- İfadenin sıfır olduğu ya da mutlak değerin içini sıfır yapan, işaretin değişebileceği nokta.
- Mutlak değerli denklem
- Bilinmeyeni mutlak değer içinde bulunduran denklem; $|f(x)|=g(x)$ iki koldan çözülür.
- Uzaklık yorumu
- $|x-m|$'i $x$'in $m$ noktasına uzaklığı olarak okumak; $|x-m|<r$ aralık, $|x-m|>r$ iki ışındır.
- Yabancı kök
- Denklemin bir adımında bulunan ancak yerine koyulduğunda ya da kolun koşulunu denetlediğinde sağlanmayan değer.
- Boş küme
- Hiçbir elemanı olmayan küme; çözümü olmayan denklem ve eşitsizliklerde $\varnothing$ yazılır.
- Eşitsizlik yönü
- İki tarafı negatif bir sayıyla çarparken ya da bölerken yönün tersine döndüğü kural.
Örnek soru
$f(x)=3x-5$ ve $g(x)=x+7$ olmak üzere $f(x)=g(x)$ denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- $\{-6\}$
- $\{1\}$
- $\{12\}$
- $\{-1\}$
- $\{6\}$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. $3x-5=x+7$ yazılır; $x$'li terimler sola, sabitler sağa toplanır: $3x-x=7+5$.
2. $2x=12 \Rightarrow x=6$.
3. Kontrol: $f(6)=13$ ve $g(6)=13$ ✓.
Doğru cevap: E. $\{12\}$, $2$'ye bölmeyi unutmaktır; $\{-6\}$ sabiti taşırken işareti değiştirmemektir.