9. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Eşlik ve Benzerlik
Eşlik ve Benzerlik Problemleri
Ağacın boyunu çıkmadan ölçmek, nehrin genişliğini karşıya geçmeden bulmak, merdivenin duvarda ne kadar yükseğe eriştiğini hesaplamak: bunların hepsi eşlik, benzerlik ve Tales, Öklid, Pisagor teoremlerinin gerçek yaşamdaki karşılıklarıdır. Bu konuda önce problemi anlamayı (verilen, istenen), sonra bir strateji seçmeyi, çözmeyi ve sonucu kontrol etmeyi çalışacak, stratejinin başka durumlarda da işe yarayıp yaramadığını sorgulayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.4.5.a. Eşlik ve benzerlik problemlerinde verilen ve istenen parçaları belirler.
- MAT.9.4.5.b. Problemde verilenler, istenenler ve gerekli işlemler (hangi üçgenler, hangi teorem) arasındaki ilişkileri belirler.
- MAT.9.4.5.c. Gerçek yaşam bağlamını (gölge, nehir, merdiven, yamuk) şekle ve matematiksel temsile dönüştürür.
- MAT.9.4.5.ç. Kurduğu matematiksel temsili ve gerekçelerini kendi ifadeleriyle açıklar.
- MAT.9.4.5.d. Eşlik, benzerlik, Tales, Öklid ve Pisagor arasında seçim yaparak çözüm stratejisi oluşturur ve uygular.
- MAT.9.4.5.f. Çözümü kontrol eder (orantı, Pisagor, makul büyüklük) ve stratejinin başka durumlara genellenebilirliğini değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Problemi anlamak ve çözüm planı yapmak
2. Gölge problemi: benzer üçgenler
3. Nehir problemi: eşlik ya da benzerlik
4. Merdiven problemi: Pisagor
5. Yamuk problemi: köşegenler ve benzerlik
6. Strateji seçimi, kontrol ve genelleme
7. Sık yapılan hatalar
Anahtar terimler
- Verilen ve istenen
- Problemde bilinen büyüklükler ve bulunması gereken büyüklük; şekil üzerinde işaretlenir.
- Strateji
- Problemi çözmek için seçilen yöntem (hangi üçgenlerin benzer olduğu, hangi teoremin kullanılacağı).
- Ters açılar
- İki doğrunun kesişmesiyle oluşan, tepe noktası ortak ve karşılıklı duran eşit açılar.
- İç ters açılar
- İki paralel doğruyu bir kesen kesti ile oluşan, iç bölgede ve ters yönde bulunan eşit açılar.
- Ölçek
- Bir modelin ya da çizimin gerçek şekle oranı; benzerlik oranı ile aynı fikirdir.
- Kontrol
- Bulunan sonucun ikinci bir yoldan, büyüklük ve birim açısından doğrulanması.
- Genellenebilirlik
- Bir çözüm stratejisinin başka sayılar ve başka bağlamlarda da çalışması.
- Yamuk
- Bir çift kenarı paralel olan dörtgen; köşegenleri paralel kenarlar oranında kesişir.
Örnek soru
Güneşli bir günde boyu $1{,}5$ m olan bir kişinin gölgesi $2$ m, aynı anda bir direğin gölgesi $12$ m ölçülüyor. Direğin boyu kaç metredir?
- $6$
- $9$
- $10{,}5$
- $11{,}5$
- $18$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Güneş ışınları paraleldir; kişi ve direk zemine diktir. İki dik üçgen AA ile benzerdir: $\frac{h}{s} = \frac{H}{S}$.
2. $\frac{1{,}5}{2} = \frac{H}{12}$ olduğundan $H = \frac{1{,}5\cdot 12}{2} = 9$ m.
Doğru cevap: B. $11{,}5$ şıkkı gölge farkını boya eklemektir ($1{,}5 + (12 - 2)$); oran çarpımla kurulur. $6$ şıkkı $\frac{12}{2}$ hesabıdır (boyu hiç kullanmaz).