9. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Eşlik ve Benzerlik
Geometrik Dönüşümler: Yansıma, Öteleme ve Dönme
Bir kilimdeki motifin ayna görüntüsü gibi karşısında durduğunu, bir friz süslemesinde aynı şeklin yan yana dizildiğini ya da bir çiçek rozetinde yaprakların merkez etrafında döndüğünü görmüşsündür. Bu üç görüntünün ortak yanı, şeklin yalnızca konum ya da yönünün değişmesidir. Bu konuda yansıma, öteleme ve dönmeyi tanıyacak, her birinde neyin değiştiğini ve neyin korunduğunu bulacak, ötelemenin paralel iki doğruya, dönmenin kesişen iki doğruya göre art arda yansıma olduğunu keşfedeceksin.
Kazanımlar
- MAT.9.4.1.a. Yansıma, öteleme ve dönmenin özelliklerine (uzunluk, açı, alan ve dönüş yönünün korunması) ve bir şeklin görüntüsüne ilişkin varsayımlarda bulunur.
- MAT.9.4.1.b. Koordinat düzlemindeki örnekleri inceleyerek yansıma, öteleme ve dönme kurallarına ilişkin örüntüleri genellemeler (ör. (x, y) → (2a − x, y)).
- MAT.9.4.1.c. Varsayımlarını ve genellemelerini karşılaştırarak dönüşüm sonucu oluşan görüntünün başlangıç şekline eş olduğunu savunur.
- MAT.9.4.1.ç. Ötelemenin paralel iki doğruya, dönmenin kesişen iki doğruya göre art arda yansıma olduğuna ilişkin önermeler sunar; öteleme miktarını (2d) ve dönme açısını (2α) belirler.
- MAT.9.4.1.d. Elde ettiği önermeleri dönme merkezi ve dönme açısı bulma, motif ve süsleme gibi yeni durumlarda kullanarak değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Motifler neden bu kadar düzenli?
2. Yansıma
3. Öteleme
4. Dönme
5. Üç dönüşümü karşılaştıralım
6. İki yansımanın bileşkesi: öteleme ve dönme
7. Dönme merkezi ve dönme açısını bulma
8. Sık yapılan hatalar
Anahtar terimler
- Başlangıç şekli ve görüntü
- Bir dönüşümden önceki şekle başlangıç şekli, dönüşümden sonra oluşan şekle görüntü denir; köşeler $A, B, C$ iken görüntüdeki karşılıkları $A', B', C'$ ile gösterilir.
- Yansıma
- Her noktayı bir eksene göre ayna görüntüsüne taşıyan dönüşüm; $[PP']$ eksene dik ve orta noktası eksen üzerindedir.
- Yansıma ekseni
- Yansımada noktaların ayna görüntüsünün alındığı doğru; üzerindeki noktalar yerinde kalır.
- Öteleme
- Şeklin her noktasını aynı yönde ve aynı miktarda kaydıran dönüşüm; $(x, y) \to (x + a, y + b)$.
- Öteleme vektörü
- Kaymanın yönünü ve miktarını veren $(a, b)$ ikilisi; $a$ yatay, $b$ düşey kaymadır.
- Dönme
- Şeklin her noktasını bir merkez etrafında belli bir açı kadar çeviren dönüşüm; merkeze uzaklık korunur.
- Dönme merkezi ve dönme açısı
- Dönmede yerinde kalan nokta $O$ ve $\angle POP'$ ölçüsü; saat yönünün tersi pozitif kabul edilir.
- Eşlik
- Bir şeklin yansıma, öteleme ve dönme (ve bunların art arda uygulanması) ile diğerine taşınabilmesi; kenar ve açılar karşılıklı olarak eşittir.
- Dönüş yönü
- Köşelerin $A \to B \to C$ sırasıyla dolaşılma yönü; yansıma bunu ters çevirir, öteleme ve dönme korur.
- Bileşke dönüşüm
- İki dönüşümün art arda uygulanması; paralel iki yansıma $2d$ öteleme, kesişen iki yansıma $2\alpha$ dönme verir.
Örnek soru
Yansıma, öteleme ve dönme dönüşümlerinin üçü için de doğru olan ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- Şeklin alanını değiştirirler.
- Köşelerin dönüş yönünü ters çevirirler.
- Görüntü, başlangıç şekline eştir.
- Şekli bir doğruya göre ayna görüntüsüne çevirirler.
- Şeklin her zaman en az bir noktası yerinde kalır.
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Üç dönüşümde de kenar uzunlukları, açı ölçüleri ve alan korunur; bu yüzden görüntü başlangıç şekline eştir.
2. Dönüş yönünü yalnızca yansıma ters çevirir; öteleme ve dönme korur (B yanlış).
3. Ayna görüntüsü yalnızca yansımada oluşur (D yanlış).
4. Ötelemede hiçbir nokta yerinde kalmaz; yansımada eksen üzerindeki, dönmede ise yalnızca merkez yerinde kalır (E yanlış).
Doğru cevap: C.