9. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Sayılar

Sayı Kümeleri ve Özellikleri

Saymak için doğal sayılar yetti; borcu göstermek için negatif sayılar, bir pastayı paylaşmak için kesirler gerekti; karenin köşegenini ölçmek içinse hiçbir kesirin yetmediği ortaya çıktı. Sayı kümeleri, bu ihtiyaçlarla adım adım genişleyen bir yapıdır. Bu konuda doğal, tam, rasyonel, irrasyonel ve gerçek sayıları ondalık açılımlarına bakarak ayıracak; sıralama, arada olma ve kapalılık özellikleri hakkında varsayımlar kurup bunları doğrudan ispatla ya da karşıt örnekle sınayacaksın.

Kazanımlar

• MAT.9.1.3.a. Doğal, tam, rasyonel, irrasyonel ve gerçek sayı kümelerini $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ilişkisiyle gösterir; bir sayının ait olduğu en küçük kümeyi belirler.
• MAT.9.1.3.a-b. Kesirlerin ondalık açılımını sonlu ya da devirli olarak sınıflar; paydanın asal çarpanlarından bunu önceden tahmin eder.
• MAT.9.1.3.b-c. Bir sayı kümesinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin kapalı olup olmadığına dair varsayım kurar ve örnek taramasıyla genelleme yapar.
• MAT.9.1.3.ç-d. Sayı kümelerinin özellikleri hakkındaki önermelerin hipotezini ve hükmünü ayırt eder, önermenin kullanışlılığını değerlendirir.
• MAT.9.1.3.e. İki rasyonel sayı arasında hep başka bir rasyonel sayı bulunduğunu ortalama alarak doğrudan ispatlar.
• MAT.9.1.3.e-f. Genel bir önermeyi tek bir karşıt örnekle çürütür; doğrudan ispat ile karşıt örnek yöntemini karşılaştırır.

Konu anlatımı

1. 1. Sayı kümeleri neden genişledi?

2. 2. Bir sayı hangi kümeye ait? Ondalık açılım

3. 3. Sıralı olma ve arada olma

4. 4. Kapalılık özelliği

5. 5. Önermeyi sınamak: hipotez, hüküm, ispat, karşıt örnek

6. 6. Çözümlü örnekler

7. 7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

Anahtar terimler

Doğal sayılar ($\mathbb{N}$)

$\{0, 1, 2, 3, \dots\}$; sayma ihtiyacıyla doğan küme.

Tam sayılar ($\mathbb{Z}$)

Doğal sayılar ile bunların negatiflerinden oluşan küme.

Rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}$)

$\dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$) biçiminde yazılabilen sayılar; açılımları sonlu ya da devirlidir.

İrrasyonel sayılar ($\mathbb{Q}'$)

Kesir olarak yazılamayan, ondalık açılımı sonsuz ve devretmeyen sayılar; $\sqrt{2}$, $\pi$.

Gerçek sayılar ($\mathbb{R}$)

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi; sayı doğrusunun tamamı.

Devirli ondalık açılım

Belli basamakların sonsuza dek tekrarlandığı açılım; $0{,}(3)$.

Kapalılık

Kümenin iki elemanı arasında yapılan işlemin sonucunun yine kümede olması.

Arada olma

İki sayı arasında başka bir sayının bulunması; rasyonel ve gerçek sayılar için daima doğrudur.

Hipotez ve hüküm

Bir önermede verilenlere hipotez, ispatlanmak istenen sonuca hüküm denir.

Karşıt örnek

Genel bir önermenin hipotezini sağlayıp hükmünü sağlamayan tek bir örnek; önermeyi çürütür.

Örnek soru

$\sqrt{49}$ sayısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1. İrrasyoneldir, çünkü kök işareti içerir.
2. Yalnızca gerçek sayılar kümesinin elemanıdır.
3. Tam sayı değildir, çünkü kök içindedir.
4. Doğal sayıdır.
5. Rasyonel sayı değildir.

Doğru cevap: D

Çözüm

1. $49 = 7^2$ bir tam karedir, bu yüzden $\sqrt{49} = 7$.
2. $7$ doğal sayıdır; dolayısıyla tam, rasyonel ve gerçek sayıdır.
3. Kök işareti tek başına irrasyonel olmayı belirlemez; kök içinin tam kare olup olmadığına bakılır.
Doğru cevap: D.

9. Sınıf Matematik: tüm konular