Diferansiyel Denklemler · 5. Ünite: Laplace Dönüşümleri
Başlangıç Değer Problemlerinin Çözümü
Laplace dönüşümü, sabit katsayılı bir başlangıç değer problemini (initial value problem, IVP) türev almadan, yalnızca cebirle çözmemizi sağlar. Dönüşüm türev kuralı başlangıç koşullarını denklemin içine kendiliğinden yerleştirir; böylece genel çözüm bulup sabitleri sonradan belirleme adımı ortadan kalkar. Bu konuda dönüşüm yöntemini homojen ve homojen olmayan denklemlere uygular, transfer fonksiyonu kavramıyla çözümü sıfır-durum ve sıfır-girdi yanıtı olarak ayırır, başlangıç ve son değer teoremlerini kullanırsın.
Öğrenme hedefleri
- $y'$ ve $y''$ için türev dönüşüm kurallarını başlangıç koşullarıyla birlikte yazar, $n$. türeve genelleştirir.
- Sabit katsayılı bir IVP'yi dönüştürüp $Y(s)$ için cebirsel denklemi kurar ve kısmi kesirlerle $y(t)$'yi bulur.
- Homojen olmayan IVP'de çözümü transfer fonksiyonu $H(s)$ ile sıfır-durum ve sıfır-girdi yanıtına ayırır.
- Başlangıç ve son değer teoremlerini $Y(s)$'ten $y(0^+)$, $y'(0^+)$ ve $y(\infty)$ bulmak için kullanır; son değer teoreminin koşulunu denetler.
- Katsayısı $t$'ye bağlı bir denklemi $L\{t\,f\}=-F'(s)$ kuralıyla birinci mertebeden bir denkleme dönüştürür.
Konu anlatımı
Bağlam: Neden Laplace ile IVP?
Türevlerin Laplace Dönüşümü
Yöntem: Dönüştür, Çöz, Geri Dön
Çözümlü Örnekler
Transfer Fonksiyonu ve Yanıtın Ayrışımı
Başlangıç ve Son Değer Teoremleri
Sınır Durumları ve Sınırlamalar
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Başlangıç değer problemi (IVP)
- Bir diferansiyel denklem ile $t=0$'da verilen $y(0), y'(0),\dots$ koşullarının birlikte oluşturduğu problem; tek çözümü vardır.
- Türev dönüşüm kuralı
- $L\{y^{(n)}\}=s^nY-s^{n-1}y(0)-\dots-y^{(n-1)}(0)$; türevi cebirsel çarpıma, başlangıç koşullarını polinom terimlerine çevirir.
- Cebirsel denklem
- Dönüşümden sonra $Y(s)$ için çıkan, türev içermeyen doğrusal denklem.
- Transfer fonksiyonu
- Sıfır başlangıç koşulları için $H(s)=Y(s)/G(s)=1/(as^2+bs+c)$; sistemin girdiden bağımsız özelliğini taşır.
- Sıfır-durum yanıtı
- Başlangıç koşulları sıfırken yalnızca dış girdinin doğurduğu yanıt, $Y_{zs}=H\,G$.
- Sıfır-girdi yanıtı
- Dış girdi yokken ($g=0$) yalnızca başlangıç koşullarının doğurduğu yanıt; homojen çözümdür.
- Kutup (pole)
- $Y(s)$ ya da $H(s)$ paydasının kökü; $e^{pt}$ biçimindeki doğal hızları belirler.
- Başlangıç değer teoremi
- $y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY(s)$.
- Son değer teoremi
- $sY(s)$'in kutupları sol yarı düzlemdeyse (ya da $s=0$'da basit kutup) $y(\infty)=\lim_{s\to0}sY(s)$.
Örnek soru
$y(0)=2$ ve $y'(0)=-1$ olmak üzere $L\{y''\}$ ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? ($Y(s)=L\{y\}$)
- $s^2Y-2s-1$
- $s^2Y+2s-1$
- $s^2Y-2s+1$
- $s^2Y-s+2$
- $s^2Y$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. İkinci türev kuralı: $L\{y''\}=s^2Y-s\,y(0)-y'(0)$.
2. $y(0)=2$ ve $y'(0)=-1$ yerine konunca $s^2Y-2s-(-1)=s^2Y-2s+1$.
Doğru cevap C. A şıkkı $y'(0)$ teriminin işaretini koşulun işaretiyle birlikte kopyalamaktır ($-(-1)$ yerine $-1$ yazılmış). B şıkkı $y(0)$ teriminin işaretini ters alır. D şıkkı $y(0)$ ile $y'(0)$'ın rollerini değiştirir. E şıkkı başlangıç koşullarını tümüyle unutur.