Diferansiyel Denklemler · 5. Ünite: Laplace Dönüşümleri
Birim Basamak (Heaviside) ve Öteleme Teoremleri
Gerçek sistemlerde zorlama çoğu zaman düzgün bir formülle değil, anahtar açıp kapayarak, vana çevirerek ya da kısa bir darbe uygulayarak gelir. Birim basamak fonksiyonu (unit step function) bu tür parçalı girdileri tek bir ifadede toplar; ikinci öteleme teoremi de zamandaki gecikmeyi $e^{-cs}$ çarpanına dönüştürür. Bu konunun sonunda parçalı bir girdiyi $u_c(t)$ ile yazabilecek, dönüşümünü ve ters dönüşümünü alabilecek, süreksiz zorlamalı bir başlangıç değer problemini çözüp sönümlü sistemin basamak ve darbe yanıtında aşımı hesaplayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Birim basamak fonksiyonu $u_c(t)$ ile parçalı tanımlı bir fonksiyonu (kutu darbe, rampa dahil) tek ifadede yazar ve grafiğini çizer.
- $\mathcal{L}\{u_c(t)\} = e^{-cs}/s$ sonucunu tanımdan türetir ve ikinci öteleme teoremini $\mathcal{L}\{u_c(t)f(t-c)\} = e^{-cs}F(s)$ biçiminde, ters biçimiyle birlikte uygular.
- $u_c(t)f(t)$ biçimindeki bir çarpımda $f(t)$'yi $f((t-c)+c)$ olarak yeniden yazıp doğru dönüşümü bulur.
- Birinci öteleme teoremi ($s$-ötelemesi, $e^{at}$ çarpanı) ile ikinci öteleme teoremini ($t$-ötelemesi, $e^{-cs}$ çarpanı) ayırt eder.
- Parçalı sürekli $g(t)$ ile zorlanan $ay''+by'+cy=g(t)$ başlangıç değer problemini Laplace dönüşümüyle çözer; $y$ ve $y'$'nün sürekli, $y''$'nün sıçramalı olduğunu yorumlar.
- Sönümlü sistemin basamak yanıtındaki aşımı $\zeta$'dan hesaplar; kutu darbe sonrası kalan salınımın darbe genişliğine bağlılığını açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Süreksiz Zorlama
Birim Basamak Fonksiyonu ve Parçalı Fonksiyonlar
Dönüşümler ve İkinci Öteleme Teoremi
Çözümlü Örnekler
Süreksiz Zorlamalı Başlangıç Değer Problemi
Basamak ve Darbe Yanıtı, Aşım ve Periyodik Girdiye Giriş
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Dene
Anahtar terimler
- Birim basamak fonksiyonu (Heaviside)
- $t<c$ için $0$, $t\ge c$ için $1$ olan $u_c(t)$; $t=c$ anında açılan bir anahtar gibi parçalı girdileri kodlar.
- Kutu darbe (rectangular pulse)
- $a\le t<b$ aralığında $1$, dışında $0$ olan $u_a(t)-u_b(t)$ girdisi.
- Rampa girdisi (ramp)
- Belirli bir sürede doğrusal yükselip sabit değere ulaşan, $(t-c)u_c-(t-c-w)u_{c+w}$ biçimindeki girdi.
- İkinci öteleme teoremi
- $\mathcal{L}\{u_c(t)f(t-c)\}=e^{-cs}F(s)$: zamandaki gecikme $s$-uzayında $e^{-cs}$ çarpanı olur.
- Birinci öteleme teoremi
- $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$: üstel çarpan $s$-argümanını kaydırır.
- Parçalı sürekli (piecewise continuous)
- Sonlu sayıda sonlu sıçrama dışında sürekli olan ve Laplace dönüşümü alınabilen girdi.
- Basamak yanıtı (step response)
- Başlangıçta durgun sistemin $u_c(t)$ girdisine verdiği tepki; $q(t-c)u_c(t)$ biçimindedir.
- Aşım (overshoot)
- $y_{\max}/y_\infty-1$; zayıf sönümlü sistemde $e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$.
- Sönüm oranı $\zeta$
- $b/(2\omega_0)$; $0$ sönümsüz, $1$ kritik sönüm, $>1$ aşırı sönüm.
Örnek soru
$c=3$ için birim basamak fonksiyonunun Laplace dönüşümü $\mathcal{L}\{u_3(t)\}$ aşağıdakilerden hangisidir?
- $\dfrac{e^{3s}}{s}$
- $\dfrac{e^{-3s}}{s}$
- $\dfrac{1}{s-3}$
- $\dfrac{e^{-3s}}{s^2}$
- $\dfrac{1}{s}$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Tanımdan: $\mathcal{L}\{u_3(t)\}=\int_3^{\infty}e^{-st}\,dt$, çünkü $t<3$ için integrand sıfırdır.
2. İntegral: $\left[-\dfrac{e^{-st}}{s}\right]_3^{\infty}=\dfrac{e^{-3s}}{s}$ (için $s>0$).
Doğru cevap B.
Çeldiriciler: A üs işaretini ters alır ($e^{+cs}$ büyür, dönüşüm olamaz); C, $e^{3t}$'nin dönüşümüyle karıştırır; D rampanın $(t-3)u_3(t)$ dönüşümüdür; E gecikmeyi tamamen yok sayar ($u_0=1$'in dönüşümü).