Diferansiyel Denklemler · 5. Ünite: Laplace Dönüşümleri
Dirac Delta Fonksiyonu ve Konvolüsyon Teoremi
Bir sisteme çok kısa süren, çok şiddetli bir kuvvet uygulandığında (çekiç vuruşu, ani bir akım darbesi) darbenin ayrıntısı değil yalnızca toplam etkisi (itki) önem taşır. Bu etkiyi matematiksel olarak modelleyen nesne Dirac delta (impulse) dağılımıdır ve Laplace dönüşümü onu e^{−cs} gibi çok basit bir çarpana çevirir. Konvolüsyon teoremi ise "girdi × sistem tepkisi" çarpımını zamanda bir integrale bağlar. Bu konunun sonunda δ(t−c) içeren denklemleri çözebilir, impuls yanıtını bulabilir ve herhangi bir girdi için y(t) = ∫ h(t−τ)g(τ)dτ çözümünü kurabilirsin.
Öğrenme hedefleri
- δ(t−c) dağılımının kayma (elek) özelliğini kullanarak ∫ f(t)δ(t−c)dt integrallerini hesaplar ve δ'yı alanı 1 olan dar darbelerin limiti olarak yorumlar.
- L{δ(t−c)} = e^{−cs} bağıntısını türetir; δ içeren a y″ + b y′ + c y = k δ(t−τ) başlangıç değer problemlerini Laplace yöntemiyle çözer.
- Sistemin impuls yanıtını h(t) = L⁻¹{1/(as²+bs+c)} olarak bulur, basamak yanıtından ayırt eder ve kuvvet darbesinin momentum sıçraması olduğunu açıklar.
- (f*g)(t) = ∫₀ᵗ f(τ)g(t−τ)dτ konvolüsyonunu hesaplar; değişme ve birleşme özelliklerini kullanır.
- Konvolüsyon teoremi L{f*g} = F(s)G(s) ile çarpım biçimindeki F(s)G(s) ifadesinin ters dönüşümünü integral olarak yazar.
- Genel girdili sistemin çözümünü y(t) = ∫₀ᵗ h(t−τ)g(τ)dτ (Duhamel) biçiminde kurar ve Y(s) = H(s)G(s) ile uyumunu gösterir.
Konu anlatımı
Bağlam: Çok Kısa, Çok Şiddetli Kuvvetler
Dirac Delta Dağılımı: Tanım ve Kayma Özelliği
Laplace Dönüşümü ve Kuvvet Darbesi Olarak Yorum
İmpuls Yanıtı
Konvolüsyon ve Özellikleri
Konvolüsyon Teoremi ve İspat Fikri
Genel Girdi İçin Çözüm: Duhamel İntegrali
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet
Anahtar terimler
- Dirac delta (δ)
- Birim alanlı dar darbelerin limiti olarak düşünülen dağılım; ∫f(t)δ(t−c)dt = f(c).
- Kayma (elek) özelliği
- δ ile çarpılıp integre edilen sürekli fonksiyonun yalnızca t = c değerini veren özellik.
- İtki (impulse)
- Kuvvetin zamana göre integrali ∫F dt; momentum değişimine eşittir.
- İmpuls yanıtı h(t)
- Durgun sisteme birim delta uygulandığında ortaya çıkan yanıt, h = L⁻¹{1/(as²+bs+c)}.
- Transfer fonksiyonu H(s)
- Durgun başlangıçlı sistemde Y(s)/G(s) oranı; impuls yanıtının Laplace dönüşümü.
- Konvolüsyon
- (f*g)(t) = ∫₀ᵗ f(τ)g(t−τ)dτ; değişmeli ve birleşmeli bir işlem.
- Konvolüsyon teoremi
- L{f*g} = F(s)G(s).
- Duhamel integrali
- Durgun başlangıçlı sistemde y(t) = ∫₀ᵗ h(t−τ)g(τ)dτ ile genel girdi çözümü.
- Basamak yanıtı
- Birim basamak girdisinin yanıtı; impuls yanıtının integraline eşittir.
Örnek soru
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(t^2+1)\,\delta(t-3)\,dt$ integralinin değeri nedir?
- $1$
- $6$
- $9$
- $10$
- $30$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Kayma (elek) özelliği: $\int f(t)\delta(t-c)dt = f(c)$.
2. $f(t) = t^2 + 1$, $c = 3$ olduğundan $f(3) = 9 + 1 = \mathbf{10}$.
Çeldiriciler: $1$ yanlışlıkla $f(0)$ almak; $6$ türev $f'(3)$; $9$ sabit terimi unutmak; $30$ ise $f(3)$'ü $c$ ile çarpmaktır. Delta yalnızca $f$'nin değerini eler, başka bir çarpan eklemez.