Diferansiyel Denklemler · 8. Ünite: Kısmi Diferansiyel Denklemler ve Fourier Serileri
Isı İletim Denklemi
Sıcak bir çayı soğutan kaşıktan, çelik bir levhanın tavlanmasına, bir binanın duvarından kaybolan ısıdan toprak altındaki sıcaklık dalgalanmalarına kadar pek çok olay tek bir denklemle modellenir: $u_t = \alpha\,u_{xx}$. Bu konuda denklemi Fourier ısı akısı yasası ve enerji korunumundan türetecek, uçları sabit sıcaklıkta ya da yalıtılmış bir çubuk için başlangıç–sınır değer problemini değişkenlerine ayırma ve Fourier serisiyle çözecek, homojen olmayan uç sıcaklıklarını kararlı hal dönüşümüyle ele alacaksın. Sonunda her modun neden kendi hızıyla söndüğünü, sıcaklığın zamanla neden düzleştiğini ve $\tau_1 = L^2/(\pi^2\alpha)$ zaman sabitinin ne anlattığını yorumlayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Fourier ısı akısı yasası $q = -k\,u_x$ ile bir çubuk diliminin enerji dengesinden $\rho c\,u_t = k\,u_{xx}$ denklemini türetir ve $\alpha = k/(\rho c)$ ısıl yayılımının birimini ve anlamını açıklar.
- Uçları sabit sıcaklıkta (Dirichlet) bir çubuk için $u(x,t) = \sum b_n e^{-n^2\pi^2\alpha t/L^2}\sin(n\pi x/L)$ çözümünü kurar ve $b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin(n\pi x/L)\,dx$ katsayılarını hesaplar.
- Uçları yalıtılmış (Neumann) çubukta kosinüs serisini kurar, sabit terimin başlangıç ortalama sıcaklığına eşit olduğunu ve ortalamanın korunduğunu gösterir.
- Homojen olmayan uç sıcaklıklarında kararlı hal çözümünü bulur, $v = u - u_{\text{kararlı}}$ dönüşümüyle problemi homojen hâle getirir ve katsayıları $f - u_{\text{kararlı}}$ üzerinden hesaplar.
- Modların sönüm hızlarının $n^2\pi^2\alpha/L^2$ ile arttığını kullanarak yüksek modların hızla kaybolmasını (düzleşme) ve geç zamanda birinci modun belirleyici olmasını yorumlar; $\tau_1$ ile belirli bir sönüm oranına ulaşma süresini hesaplar.
- Maksimum ilkesini ve ısının sonsuz hızla yayıldığı özelliğini dalga denklemiyle karşılaştırarak açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Isı Neden Düzleşir?
Türetme: Fourier Yasası ve Enerji Korunumu
Başlangıç–Sınır Değer Problemi
Uçlar Sabit Sıcaklıkta: Sinüs Serisi
Katsayıların Hesabı: Simülasyondaki Başlangıç Profilleri
Uçlar Yalıtılmış: Kosinüs Serisi
Homojen Olmayan Uç Sıcaklıkları: Kararlı Hal Dönüşümü
Zamanla Düzleşme, τ₁ ve Uzun Zaman Davranışı
Maksimum İlkesi ve Sonsuz Yayılma Hızı
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Dene
Anahtar terimler
- Isı denklemi (heat equation)
- $u_t = \alpha\,u_{xx}$: tek boyutlu bir çubukta sıcaklığın zaman ve konumla değişimini veren kısmi diferansiyel denklem.
- Isıl yayılım (thermal diffusivity)
- $\alpha = k/(\rho c)$; birimi $\text{m}^2/\text{s}$. Sıcaklık farklarının ne kadar çabuk eşitleneceğini belirler.
- Fourier ısı iletimi yasası
- Isı akısı $q = -k\,u_x$; ısı sıcaktan soğuğa, sıcaklık eğimiyle orantılı akar.
- Dirichlet koşulu
- Uçta sıcaklığın verilmesi: $u(0,t) = T_1,\ u(L,t) = T_2$ (sabit sıcaklıkta uç).
- Neumann koşulu
- Uçta türevin verilmesi: yalıtılmış uç için $u_x = 0$; sıcaklık değil akı sıfırdır.
- Kararlı hal (steady state)
- $t \to \infty$'daki zamandan bağımsız çözüm: $u_{xx} = 0$. Uçlar sabitse doğrusal profil, yalıtılmışsa ortalama sıcaklık.
- Mod sönüm hızı
- $n$. modun $e^{-\gamma_n t}$'deki hız sabiti, $\gamma_n = n^2\pi^2\alpha/L^2$; $n^2$ ile artar.
- Zaman sabiti $\tau_1$
- $\tau_1 = L^2/(\pi^2\alpha)$: birinci modun $1/e$ katına indiği süre.
- Maksimum ilkesi (maximum principle)
- Kaynaksız çubukta $u$'nun ekstremum değerleri başlangıçta ya da uç noktalarında bulunur; iç noktada yeni tepe oluşmaz.
Örnek soru
Bakır için $k = 400\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}$, $\rho = 8900\,\text{kg/m}^3$ ve $c = 385\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ verilmiştir. Isı denklemi $u_t = \alpha\,u_{xx}$ biçiminde yazıldığında ısıl yayılım $\alpha$ kaçtır?
- $4{,}5\times 10^{-2}\ \text{m}^2/\text{s}$
- $8{,}6\times 10^{3}\ \text{m}^2/\text{s}$
- $1{,}17\times 10^{-1}\ \text{m}^2/\text{s}$
- $1{,}17\times 10^{-4}\ \text{m}^2/\text{s}$
- $1{,}17\times 10^{-4}\ \text{s/m}^2$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Enerji korunumu ve Fourier yasası $\rho c\,u_t = k\,u_{xx}$ verir, dolayısıyla $\alpha = k/(\rho c)$.
2. $\rho c = 8900 \times 385 = 3{,}43\times 10^{6}\,\text{J/(m}^3\cdot\text{K)}$.
3. $\alpha = 400/(3{,}43\times 10^{6}) \approx 1{,}17\times 10^{-4}\,\text{m}^2/\text{s}$ (birim: uzunluk kare bölü zaman).
Cevap: D. A özgül ısıyı ($c$) unutup $k/\rho$ hesaplar; B oranı ters çevirir ($\rho c/k$); C $c$'yi kJ gibi $0{,}385$ alır (birim dönüşümü hatası); E doğru sayıyı ters birimle verir: $\alpha$ zamanla ters değil, $\text{m}^2/\text{s}$ birimindedir.