Diferansiyel Denklemler · 4. Ünite
4. Ünite Deneme Sınavı: Yüksek Mertebeden Denklemlerin Uygulamaları
20 çoktan seçmeli soru · 3 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Mekanik Titreşimler (Serbest ve Sönümlü) (7 soru)
- Zorlanmış Titreşimler ve Rezonans (7 soru)
- Elektrik Devreleri (RLC Devreleri) (6 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
Sürtünmesiz bir yay–kütle sisteminde kütle $4$ katına çıkarılıyor; yay ve başlangıç koşulları aynı. Doğal frekans $\omega_0$ ve periyot $T$ nasıl değişir?
- $T$ değişmez, çünkü ağırlık da orantılı artar ve yay bunu dengeler
- $T$ $4$ katına çıkar
- $T$ yarıya iner
- $T$ dörtte birine iner
- $\omega_0$ yarıya iner, $T$ iki katına çıkar
Doğru cevap: E
Çözüm
1. $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ ve $T = 2\pi\sqrt{m/k}$; periyot $m$'nin karekökü ile orantılıdır.
2. $m \to 4m$ ise $\omega_0 \to \omega_0/2$ ve $T \to 2T$. Doğru cevap E.
Çeldiriciler: "T değişmez" (ağırlığın denge konumunu kaydırdığı ama titreşim denklemine girmediği doğru, ama $m$ eylemsizlik olarak $y''$ çarpanıdır); "4 katı" (karekök yerine doğrudan orantı); "yarıya" ve "dörtte bire" (ters orantı).
Soru 2
$c > 0$ olan bir yay–kütle sistemi $F_0\cos\omega t$ ile sürülüyor ve $y(0) = y'(0) = 0$ ile başlatılıyor. Uzun süre sonra ($t \gg 2m/c$) yanıt hakkında hangisi doğrudur?
- Yanıt sürücünün frekansı $\omega$ ile salınır ve başlangıç koşullarından bağımsızdır.
- Yanıt sönümlü doğal frekans $\omega_d$ ile salınır ve başlangıç koşullarına bağlıdır.
- Yanıt doğal frekans $\omega_0$ ile sabit genlikli salınır.
- Yanıt $\omega$ ve $\omega_0$ bileşenlerinin toplamı olarak vurularla sürer.
- Yanıtın tamamı söner ve kütle denge konumunda durur.
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $y = y_h + y_p$. Homojen (geçici) kısım $c > 0$ iken $e^{-ct/(2m)}$ ile sıfıra gider.
2. $t \gg 2m/c$ için geriye özel (kalıcı) çözüm $y_p = R\cos(\omega t - \varphi)$ kalır. Sürücü sürdüğü için sönmez.
3. $R$ ve $\varphi$ yalnızca $m, c, k, F_0, \omega$'ya bağlıdır; başlangıç koşulları yalnızca $y_h$'nin sabitlerinde görünür. Cevap A.
Çeldiriciler: $\omega_d$ ve $\omega_0$ frekansları geçici kısımda yaşar ve söner (geçici kısmın kalıcı olduğunu sanmak). Vuru yalnızca $c = 0$ iken sürer. Yanıtın tamamının sönmesi sürücüyü unutmaktır.
Sınavın tamamı Diferansiyel Denklemler dersini derslerine ekleyince açılır.