Diferansiyel Denklemler · 3. Ünite
3. Ünite Deneme Sınavı: Yüksek Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
20 çoktan seçmeli soru · 5 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Temel Teori, Lineer Bağımsızlık ve Wronskian (4 soru)
- Sabit Katsayılı Homojen Denklemler (4 soru)
- Belirsiz Katsayılar Yöntemi (4 soru)
- Parametrelerin Değişimi (Variation of Parameters) (4 soru)
- Cauchy-Euler Denklemleri (4 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
$y_1 = 1 + \cos t$ ve $y_2 = 1 + \sin t$ fonksiyonları $y'' + y = 1$ denkleminin çözümleridir. Aşağıdakilerden hangisi de bu denklemin bir çözümüdür?
- $y_1 + y_2$
- $2y_1$
- $\tfrac{1}{2}(y_1 + y_2)$
- $y_1 - y_2$
- $c_1y_1 + c_2y_2$ (keyfi $c_1, c_2$ için)
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $L[y] = y'' + y$ lineerdir; $L[y_1] = L[y_2] = 1$.
2. $L[y_1 + y_2] = 2$ ve $L[2y_1] = 2$: ikisi de $1$ değildir (A, B yanlış).
3. $L\big[\tfrac{1}{2}(y_1 + y_2)\big] = \tfrac{1}{2}(1 + 1) = 1$: çözümdür.
Cevap: C. D seçeneği $L[y_1 - y_2] = 1 - 1 = 0$ verir: homojen denklemin çözümüdür, bu denklemin değil. E seçeneği ancak $c_1 + c_2 = 1$ iken doğrudur; keyfi sabitlerle $L = c_1 + c_2$ olur. Süperpozisyon homojen olmayan denklemde geçerli değildir.
Soru 2
$y'' + 2y' + 5y = 4\sin 3t$ denklemi için $y_p$'nin tahmin biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ($A, B$ belirsiz katsayılardır.)
- $A\cos 3t + B\sin 3t$
- $A\sin 3t$
- $t\,(A\cos 3t + B\sin 3t)$
- $A\cos 3t$
- $(At + B)(\cos 3t + \sin 3t)$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Karakteristik denklem $r^2 + 2r + 5 = 0$, kökler $-1 \pm 2i$.
2. Sağ taraftaki $\sin 3t$ için $\sigma = \pm 3i$. Bu değer köklerden biri değildir (kökler $-1 \pm 2i$), yani $s = 0$.
3. Türev sinüs ile kosinüsü birbirine çevirdiği için ikisi birlikte alınır: $y_p = A\cos 3t + B\sin 3t$.
Cevap: A. B ve D'de tek fonksiyon vardır; $y'$ terimi diğerini doğurur ve denklem çözülemez. C rezonans olmadığı hâlde $t$ ekler; E ise gereksiz bir polinom çarpanı getirir.
Sınavın tamamı Diferansiyel Denklemler dersini derslerine ekleyince açılır.