Diferansiyel Denklemler · 1. Ünite: Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler
Homojen, Bernoulli ve Riccati Denklemleri
Hiçbir kalıba uymayan bir birinci mertebeden denklemle karşılaştığında en güçlü silahın değişken değiştirmektir: doğru dönüşüm lineer olmayan bir denklemi ayrılabilir ya da lineer bir denkleme çevirir. Bu konuda üç klasik dönüşümü öğreneceksin: sağ tarafı yalnızca $y/x$ oranına bağlı denklemler için $y = vx$, Bernoulli denklemi için $v = y^{1-n}$ ve bilinen bir özel çözümü olan Riccati denklemi için $y = y_1 + 1/w$. Bu konuyu bitirdiğinde hangi dönüşümün neden işe yaradığını türetebilecek, kaybolan çözümleri ($y = 0$ gibi) yakalayabilecek ve çözümün tanım aralığını yorumlayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Bir denklemin sıfır dereceli homojen (sağ tarafı $f(y/x)$ biçiminde) olup olmadığını $f(tx, ty) = f(x, y)$ koşuluyla sınar ve bunu lineer homojenlikten ayırır.
- $y = vx$ dönüşümüyle homojen denklemi $x\,v' = f(v) - v$ biçiminde ayrılabilir hale getirir, çözer ve $v = y/x$'e geri döner.
- $y' + p(x)y = q(x)y^n$ denklemini tanır; $n = 0$ ve $n = 1$ durumlarında dönüşüme gerek olmadığını gösterir.
- $v = y^{1-n}$ dönüşümüyle Bernoulli denklemini $v' + (1-n)p\,v = (1-n)q$ lineer denklemine çevirir ve integral çarpanıyla çözer.
- $n > 0$ için $y = 0$ çözümünü ayrıca belirler; bölme sırasında kaybolan bu çözümün genel çözüm ailesinde olup olmadığını değerlendirir.
- Bilinen bir özel çözüm $y_1$ verilen Riccati denklemini $y = y_1 + 1/w$ ile lineer $w$ denklemine indirger; çözümün sonlu $x$'te sonsuza gittiği noktayı bulur.
Konu anlatımı
Bağlam: Nonlineer Denklemleri Lineer ya da Ayrılabilir Yapmak
Homojen Denklem: Sıfır Dereceli Fonksiyon
y = vx Dönüşümünün Türetilmesi
Çözümlü Örnek 1: Homojen Denklem ve Arctan
Çözümlü Örnek 2: Örtük Çözüm
Bernoulli Denklemi ve Özel Durumları
Bernoulli Dönüşümünün Türetilmesi
Çözümlü Örnek 3: Bernoulli Denklemi
Riccati Denklemi ve Dönüşümü
Çözümlü Örnek 4: Riccati Denklemi
Sınır Durumları ve Tanım Aralığı
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyona Bağlantı
Anahtar terimler
- Homojen fonksiyon (homogeneous function)
- $f(tx, ty) = t^k f(x, y)$ koşulunu sağlayan fonksiyon; $k$ derecedir. Derece 0 ise $f$ yalnızca $y/x$'e bağlıdır.
- Homojen denklem (homogeneous equation)
- $y' = f(x, y)$ ve $f(tx, ty) = f(x, y)$ olan denklem; $y = vx$ dönüşümüyle ayrılabilir hale gelir. Lineer homojen denklemden farklı bir kavramdır.
- Bernoulli denklemi (Bernoulli equation)
- $y' + p(x)y = q(x)y^n$ biçimindeki denklem; $n \ne 0, 1$ için $v = y^{1-n}$ ile lineer olur.
- Bernoulli dönüşümü (Bernoulli substitution)
- $v = y^{1-n}$ dönüşümü; sonuç lineer denklem $v' + (1-n)p\,v = (1-n)q$'dur.
- Kaybolan çözüm (lost solution)
- Bölme sırasında dışarıda kalan ve genel çözüm formülünde bulunmayan çözüm; Bernoulli'de $n > 0$ için $y = 0$.
- Riccati denklemi (Riccati equation)
- $y' = q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2$ biçimindeki denklem; bir özel çözüm biliniyorsa lineer denkleme indirgenir.
- Özel çözüm (particular solution)
- Denklemi sağlayan, keyfi sabit içermeyen tek bir çözüm; Riccati'de dönüşümün temelini oluşturan $y_1$.
- Eş eğim doğrusu (isocline)
- Eğim alanında eğimin sabit olduğu noktaların kümesi; homojen denklemde orijinden geçen doğrulardır.
- Sonlu $x$'te patlama (finite-time blow-up)
- Çözümün sonlu bir $x$ değerinde sonsuza gitmesi; $y' = y^2$ ve $n > 1$ Bernoulli çözümlerinde görülür.
Örnek soru
Aşağıdaki denklemlerden hangisi $y = vx$ dönüşümüyle ayrılabilir hale getirilebilen (sıfır dereceli homojen) bir denklemdir?
- $y' = x + y$
- $y' = \dfrac{x^2 + y}{x^2}$
- $y' = \dfrac{x + y + 1}{x - y}$
- $y' = \dfrac{x^2 + 3y^2}{xy}$
- $y' = \dfrac{y}{x} + x$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Sıfır dereceli homojenlik için $f(tx, ty) = f(x, y)$ olmalıdır; bir kesirde pay ve paydadaki tüm terimlerin derecesi aynı olursa bu sağlanır.
2. D şıkkında pay $x^2 + 3y^2$ ve payda $xy$ ikisi de 2. derecedendir: $f(tx, ty) = \dfrac{t^2(x^2 + 3y^2)}{t^2 xy} = f(x, y)$. Ayrıca $f = \dfrac{x}{y} + \dfrac{3y}{x} = \dfrac{1}{v} + 3v$, yani yalnızca $v = y/x$'e bağlıdır: D şıkkı.
3. A: $f(tx, ty) = t(x + y)$, 1. derece homojen fonksiyondur ama denklem derece-0 homojen değildir. B: $\dfrac{t^2x^2 + ty}{t^2x^2}$ homojenliği bozar ($y$ terimi 1. derece). C: pay ve paydadaki sabit $+1$ homojenliği bozar. E: $\dfrac{y}{x}$ homojen ama $x$ terimi $f(tx, ty) = \dfrac{y}{x} + tx$ verir.
4. En güçlü çeldirici A'dır: "homojen fonksiyon" ile "homojen denklem" (derece 0) ayrı kavramlardır.