Diferansiyel Denklemler · 1. Ünite: Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler
Tam (Exact) Diferansiyel Denklemler
Bir harita üzerinde aynı yükseklikteki noktaları birleştiren eş-yükselti eğrilerini düşün: eğri boyunca yükseklik değişmez. Tam diferansiyel denklemler tam olarak bu fikirdir; çözüm eğrileri, bir potansiyel fonksiyonun $\psi(x,y) = C$ eş-yükselti eğrileridir. Bu konuyu bitirdiğinde $M\,dx + N\,dy = 0$ denkleminin tam olup olmadığını $M_y = N_x$ testiyle sınayabilir, potansiyel fonksiyonunu adım adım kurabilir, tam olmayan denklemleri uygun bir integral çarpanıyla tamlaştırabilir ve bu yöntemlerin nerede çalışmadığını açıklayabilirsin.
Öğrenme hedefleri
- Birinci mertebeden bir denklemi $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$ diferansiyel biçiminde yazar ve $M_y = N_x$ testiyle tam olup olmadığına karar verir.
- $\psi_x = M$ ve $\psi_y = N$ koşullarından potansiyel fonksiyonunu $h(y)$ terimini de hesaba katarak kurar ve genel çözümü $\psi(x,y) = C$ olarak yazar.
- Tam bir denklemin başlangıç değer problemini çözer; $C$ sabitini $\psi(x_0, y_0)$ ile belirler ve çözümün geçerli olduğu aralığı bulur.
- Tam olmayan bir denklem için $(M_y - N_x)/N$ ya da $(N_x - M_y)/M$ ifadesinin tek değişkene bağlı olup olmadığını sınayarak $\mu(x)$ ya da $\mu(y)$ integral çarpanını hesaplar.
- Her denklemin $\mu(x)$ ya da $\mu(y)$ ile tamlaştırılamayacağını bir karşı örnekle gösterir ve ayrılabilir ya da lineer denklemleri tam denklemin özel durumları olarak yorumlar.
- Tamlık teoreminin bölge koşulunu (basit bağlantılı bölge, Poincaré lemması) açıklar ve $M_y = N_x$ olduğu hâlde potansiyelin bulunmadığı bir örnek verir.
Konu anlatımı
Bağlam: Eş-Yükselti Eğrileri ve Korunan Büyüklük
Tanım: Tam Diferansiyel ve Potansiyel Fonksiyonu
Tamlık Testi: $M_y = N_x$ Teoremi ve İspatı
$\psi$'yi Bulma Algoritması
Çözümlü Örnek 1: Tam Denklem ve Başlangıç Koşulu
Çözümlü Örnek 2: Eyer Eş-Yükseltileri ve Çarpım Kuralının Tersi
Tam Olmayan Denklem ve İntegral Çarpanı
Çözümlü Örnek 3: $\mu(x)$ ile Tamlaştırma
Çözümlü Örnek 4: $\mu(y)$ ile Tamlaştırma
Sınır Durumları: $\mu(x,y)$ ve Bölge Koşulu
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Dene
Anahtar terimler
- Tam diferansiyel denklem (exact equation)
- $M\,dx + N\,dy = 0$ ifadesinin sol tarafı bir $\psi(x,y)$ fonksiyonunun diferansiyeli ise denklem tamdır; genel çözüm $\psi(x,y) = C$.
- Potansiyel fonksiyonu (potential function)
- $\psi_x = M$ ve $\psi_y = N$ koşullarını sağlayan $\psi(x,y)$; çözüm eğrilerinin eş-yükselti eğrileri olduğu fonksiyon.
- Tamlık testi
- $M$, $N$, $M_y$, $N_x$ sürekli ve bölge basit bağlantılı iken $M\,dx + N\,dy$'nin tam olması için gerek ve yeter koşul $M_y = N_x$.
- Eş-yükselti eğrisi (level curve)
- $\psi(x,y) = C$ ile verilen eğri; $\psi$ bu eğri boyunca sabittir ve tam denklemin bir çözümüdür.
- İntegral çarpanı (integrating factor)
- Tam olmayan bir denklemi çarpınca tam yapan $\mu(x,y) \ne 0$ fonksiyonu; $(\mu M)_y = (\mu N)_x$ koşulunu sağlar.
- Tek değişkenli çarpan sınaması
- $(M_y - N_x)/N$ yalnızca $x$'e bağlıysa $\mu(x)$, $(N_x - M_y)/M$ yalnızca $y$'ye bağlıysa $\mu(y)$ vardır ve $\mu'/\mu$ bu ifadeye eşittir.
- $h(y)$ terimi
- $\psi_x = M$'yi $x$'e göre integre ederken ortaya çıkan, $y$'nin keyfi fonksiyonu olan integral sabiti; $\psi_y = N$ ile belirlenir.
- Basit bağlantılı bölge (simply connected region)
- İçinde delik bulunmayan bölge; tamlık teoremi ve Poincaré lemması bu bölgelerde $M_y = N_x$'ten global potansiyel çıkarır.
Örnek soru
Aşağıdaki diferansiyel denklemlerden hangisi tamdır (exact)?
- $(2x + y)\,dx + (x + 2y)\,dy = 0$
- $y\,dx - x\,dy = 0$
- $2xy\,dx + y^2\,dy = 0$
- $y^2\,dx + x^2\,dy = 0$
- $x\cos y\,dx - x^2\sin y\,dy = 0$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Tamlık testi $M_y = N_x$'tir.
2. A şıkkında $M = 2x + y$, $N = x + 2y$; $M_y = 1 = N_x$. A şıkkı tamdır ($\psi = x^2 + xy + y^2$).
3. B: $M_y = 1$, $N_x = -1$. C: $M_y = 2x$, $N_x = 0$. D: $M_y = 2y$, $N_x = 2x$. E: $M_y = -x\sin y$, $N_x = -2x\sin y$. Hiçbiri eşit değildir.
4. D en güçlü çeldiricidir: iki türev de "benzer" görünür ama $2y \ne 2x$ olduğundan denklem tam değildir.