Diferansiyel Denklemler · 2. Ünite: Birinci Mertebeden Denklemlerin Uygulamaları
Nüfus Modelleri (Eksponansiyel ve Lojistik)
Bir bakteri kültürü, bir balık stoğu ya da bir ülkenin nüfusu zamanla nasıl değişir? Birinci mertebeden tek bir otonom denklem, $P' = g(P)$, bu soruya şaşırtıcı ölçüde zengin bir yanıt verir: sınırsız üstel büyüme, kaynakların sınırladığı S biçimli büyüme, bir eşiğin altında yok oluş ve aşırı hasatla çöküş. Konunun sonunda Malthus ve lojistik modelleri kurup analitik olarak çözebilecek, çözümü bulmadan faz çizgisinden denge noktalarını ve kararlılıklarını okuyabilecek, dönüm noktasını türetebilecek ve hasatlı modelde maksimum sürdürülebilir hasadı ($rK/4$) bulup bunun bir çatallanma (bifurcation) olduğunu açıklayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Malthus modelini $P' = rP$ olarak kurar, $P(t) = P_0e^{rt}$ çözümünü türetir ve ikiye katlanma süresini $t_d = \ln 2 / r$ ile hesaplar.
- Lojistik denklemi $P' = r(1 - P/K)P$ değişkenlerine ayırarak çözer, $P(t) = \dfrac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}$ ifadesini elde eder ve başlangıç koşulundan sabiti bulur.
- Otonom denklemde $g(P) = 0$ denklemiyle denge noktalarını bulur, faz çizgisi üzerinde $g$ işaretinden ve $g'(P^*)$ değerinden kararlı ya da kararsız olduğuna karar verir.
- Lojistik çözümün S-eğrisini yorumlar; $P'' = r(1 - 2P/K)P'$ ifadesinden dönüm noktasının $P = K/2$ olduğunu ve büyüme hızının en çok orada olduğunu gösterir.
- Eşik modelini $P' = -r(1 - P/T)P$ çözer; başlangıç nüfusunun $T$'nin altında ya da üstünde olmasına göre yok oluşu ya da sonlu zamanda patlamayı ayırt eder.
- Hasatlı modelde $P' = rP(1 - P/K) - h$ için denge noktalarını $h$ cinsinden yazar, maksimum sürdürülebilir hasadı $h_{\max} = rK/4$ bulur ve $h > h_{\max}$ iken nüfusun neden her koşulda tükendiğini açıklar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Nüfus Neden Bir Diferansiyel Denklemdir?
Eksponansiyel (Malthus) Model
Lojistik Model: Sınırlı Kaynak ve Taşıma Kapasitesi
Lojistik Denklemin Analitik Çözümü ve S-Eğrisi
Eşik Modeli: Çok Seyrek Nüfus Tükenir
Hasatlı Model, Maksimum Sürdürülebilir Hasat ve Çatallanma
Sınır Durumları ve Simülasyonla Keşif
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Otonom denklem (autonomous equation)
- Sağ tarafı yalnızca bağımlı değişkene bağlı olan $y' = g(y)$ biçimli denklem; $t$ açıkça yer almaz.
- Eksponansiyel (Malthus) model
- Kişi başına büyüme oranı sabit olan $P' = rP$ modeli; çözümü $P_0e^{rt}$, ikiye katlanma süresi $\ln 2 / r$.
- Taşıma kapasitesi (carrying capacity)
- Lojistik modelde ortamın sürdürebileceği en büyük nüfus $K$; kararlı denge noktasıdır.
- Denge noktası (equilibrium)
- $g(P^*) = 0$ olan sabit çözüm $P \equiv P^*$; nüfusun değişmediği değer.
- Faz çizgisi (phase line)
- $P'$ işaretinin $P$ ekseni üzerinde oklarla gösterildiği, çözümsüz niteliksel analiz aracı.
- Kararlılık (stability)
- Denge yakınındaki çözümler ona yaklaşıyorsa kararlı, uzaklaşıyorsa kararsız; $g'(P^*) < 0$ kararlı, $> 0$ kararsız.
- Dönüm noktası (inflection point)
- Lojistik çözümde eğriliğin işaret değiştirdiği nokta; $P = K/2$ ve en büyük büyüme hızı noktasıdır.
- Eşik modeli (threshold model)
- $P' = -r(1 - P/T)P$; $T$'nin altında nüfus tükenir, üstünde sonlu zamanda patlar.
- Maksimum sürdürülebilir hasat (maximum sustainable yield)
- Nüfusu tüketmeden alınabilecek en büyük sabit hasat; lojistik modelde $h_{\max} = rK/4$.
- Eyer-düğüm çatallanması (saddle-node bifurcation)
- Parametre değişirken iki denge noktasının birleşip yok olması; hasatlı modelde $h = rK/4$'te olur.
Örnek soru
Bir bakteri kültürü $P' = 0{,}03\,P$ (zaman birimi: saat) Malthus modeline uyuyor. Nüfusun iki katına çıkması yaklaşık kaç saat sürer?
- 33,3 saat
- 23,1 saat
- 66,7 saat
- 0,021 saat
- 0,043 saat
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $P = P_0e^{0{,}03t}$ ve $P(t_d) = 2P_0$ koşulundan $e^{0{,}03\,t_d} = 2$ olur.
2. Her iki tarafın doğal logaritması: $t_d = \dfrac{\ln 2}{0{,}03} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}03} \approx 23{,}1$ saat. B
3. Bu süre $P_0$'dan bağımsızdır.
Çeldiriciler: $1/r = 33{,}3$ (ln 2 unutuldu), $2/r = 66{,}7$ ($P = 2$ sanıldı), $r\ln 2$ ve $r/\ln 2$ ise çarpma ya da bölmeyi yanlış kurmanın sonucudur.