Diferansiyel Denklemler · 2. Ünite: Birinci Mertebeden Denklemlerin Uygulamaları
Karışım Problemleri
Tuzlu su dolu bir tanka başka derişimde tuzlu su akıtılırken, karışmış sıvı da aynı anda tanktan çekiliyorsa tanktaki tuz miktarı zamanla nasıl değişir? Aynı soru bir gölün kirlenmesinde, bir odanın havalandırılmasında ya da kandaki ilaç derişiminde de karşımıza çıkar. Bu konuda kütle dengesini ($\text{değişim hızı} = \text{giriş hızı} - \text{çıkış hızı}$) bir birinci mertebeden lineer denkleme çevirmeyi, eşit ve eşit olmayan debilerde çözmeyi, kararlı hali ve zaman sabitini yorumlamayı ve iki tankı ardışık bağlayan problemleri kurmayı öğrenirsin.
Öğrenme hedefleri
- Bir tank probleminde giren ve çıkan çözünen madde hızlarını yazarak $Q' = r_g c_g - r_{\text{ç}} Q/V$ biçimindeki kütle dengesi denklemini kurar.
- Debiler eşit ($r_g = r_{\text{ç}}$) iken denklemi lineer denklem olarak çözer; $Q(t) = c_g V_0 + (Q_0 - c_g V_0)e^{-rt/V_0}$ ifadesini ve kararlı hal $Q_\infty = c_g V_0$ değerini bulur.
- Zaman sabiti $\tau = V_0/r$'yi hesaplar; belirli bir derişime ya da kararlı halin belirli bir kesrine ulaşma süresini bulur.
- Debiler eşit değilken $V(t) = V_0 + (r_g - r_{\text{ç}})t$ hacmini denkleme katar, integral çarpanıyla çözer; tankın boşalma ya da taşma anını belirler.
- Miktar $Q$ ile derişim $c = Q/V$ arasındaki farkı yorumlar; hangisinin hangi koşulda kararlı bir değere gittiğini ayırt eder.
- İki tankın ardışık (kaskat) bağlandığı sistemde ikinci tankın tuz miktarını sırayla çözer ve tepe zamanını yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Bir Tank, İki Boru
Tanımlar ve Kütle Dengesi
Sabit Hacim: Eşit Debiler ve Kararlı Hal
Değişen Hacim: Debiler Eşit Değilken
Ardışık (Kaskat) Tanklar
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Kararlı Hal Yorumu
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Karışım problemi (mixing problem)
- Bir tanka giren ve çıkan akışlarla çözünen madde miktarının nasıl değiştiğini kütle dengesiyle modelleyen problem.
- Kütle dengesi (mass balance)
- Değişim hızı = giriş hızı − çıkış hızı; $Q' = r_g c_g - r_{\text{ç}} Q/V$.
- Derişim (concentration)
- Birim hacimdeki çözünen madde miktarı, $c = Q/V$ (g/L). Miktar ($Q$, g) ile aynı şey değildir.
- Kararlı hal (steady state)
- Zamanla değişmeyen değer. Eşit debide $Q_\infty = c_g V_0$; debiler farklıysa yoktur.
- Zaman sabiti (time constant)
- $\tau = V_0/r$ (dk); kararlı halden farkın $1/e$'ye indiği süre.
- İntegral çarpanı (integrating factor)
- Lineer denklemi $(\mu Q)' = \mu g$ biçimine getiren çarpan; eşit debide $e^{rt/V_0}$, değişen hacimde $V^{r_{\text{ç}}/a}$.
- Ardışık tanklar (cascade)
- Birinin çıkışının diğerinin girişi olduğu tank zinciri; denklemler sırayla çözülür.
- Boşalma ve taşma anı
- Debiler farklıyken hacmin sıfıra düştüğü ya da kapasiteye ulaştığı an; model burada sona erer.
Örnek soru
$200\,\text{L}$'lik, iyi karıştırılan bir tanka $0{,}3\,\text{g/L}$ tuz içeren su $4\,\text{L/dk}$ ile girmekte ve karışım $4\,\text{L/dk}$ ile çıkmaktadır. Tanktaki tuz miktarı $Q(t)$ (g) için doğru diferansiyel denklem hangisidir?
- $Q' = 1{,}2 - Q/50$
- $Q' = 1{,}2 - 4Q$
- $Q' = 0{,}3 - Q/50$
- $Q' = 1{,}2 - 0{,}3\cdot 4$
- $Q' = 1{,}2 - Q/200$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Giren tuz hızı: $r_g c_g = 4\cdot 0{,}3 = 1{,}2\,\text{g/dk}$.
2. Çıkan tuz hızı: çıkan sıvı tanktaki derişimdedir, $c = Q/V$. Hacim sabit ($200\,\text{L}$): $r_{\text{ç}}\,Q/V = 4Q/200 = Q/50$.
3. Kütle dengesi $Q' = 1{,}2 - Q/50$: A şıkkı.
4. En güçlü çeldirici D'dir: çıkış derişimini giriş derişimi sanır ($4\cdot 0{,}3$) ve $Q' = 0$ bulur. E şıkkı debi çarpanını unutur, C şıkkı ise giriş hızında debiyi atlar.