İstatistik ve Olasılık · 2. Ünite: Olasılık Kuramı
Bağımsızlık ve Çarpım Kuralı
Art arda atılan iki zarın birbirini etkilemediğini, bir sistemin bileşenlerinin ayrı ayrı bozulduğunu, bir anketteki iki sorunun yanıtlarının ilişkisiz olduğunu söylerken sezgisel olarak "bağımsızlık"tan söz ederiz. Olasılık kuramı bu sezgiyi tek bir eşitlikle kesinleştirir: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Konunun sonunda iki ve üç olayın bağımsızlığını sınayabilecek, ayrık olaylarla bağımsız olayları karıştırmayacak, ikişerli ve karşılıklı bağımsızlık farkını bir karşı örnekle açıklayabilecek ve çarpım kuralını güvenilirlik, "en az bir başarı" ve ilk başarıya kadar bekleme problemlerinde kullanabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ tanımını ve eşdeğer ifadeleri ($P(A\mid B)=P(A)$, $P(B\mid A)=P(B)$) kullanarak iki olayın bağımsızlığını sayısal verilerle sınar.
- $A$ ve $B$ bağımsızsa $A$ ile $B'$ ile ve $A'$ ile $B'$ çiftlerinin de bağımsız olduğunu ispatlar.
- Ayrık (birbirini dışlayan) olaylarla bağımsız olayları ayırt eder; pozitif olasılıklı ayrık olayların daima bağımlı olduğunu gerekçelendirir.
- Üç olayın ikişerli bağımsız ama karşılıklı bağımsız olmadığı durumu iki para atışı örneğiyle kurar ve karşılıklı bağımsızlık için gerekli koşulları sayar.
- Bağımsız bileşenlerden oluşan seri, paralel ve karma sistemlerin güvenilirliğini hesaplar ve zayıf halkanın etkisini yorumlar.
- "En az bir başarı" ($1-(1-p)^n$) ve "ilk başarı $k$. denemede" ($(1-p)^{k-1}p$) problemlerinde çarpım ve tümleyen kurallarını birlikte kullanır.
Konu anlatımı
Motivasyon: Bilgi Olasılığı Değiştirmediğinde
Temel Teoremler: Tümleyenler ve Ayrık Olaylar
Üç ve Daha Çok Olay: İkişerli ve Karşılıklı Bağımsızlık
Uygulamalar: Güvenilirlik, En Az Bir Başarı ve Bekleme
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Tablo Okuma
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Bağımsız olaylar (independent events)
- $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ eşitliğini sağlayan olaylar; birinin bilinmesi diğerinin olasılığını değiştirmez.
- Çarpım kuralı (multiplication rule)
- Bağımsız olaylarda kesişim olasılığı olasılıkların çarpımıdır; genel durumda $P(A)P(B\mid A)$.
- Ayrık (birbirini dışlayan) olaylar
- $A\cap B=\varnothing$; pozitif olasılıklı iseler daima bağımlıdırlar.
- İkişerli bağımsızlık (pairwise independence)
- Her olay çiftinin bağımsız olması; karşılıklı bağımsızlığı garanti etmez.
- Karşılıklı bağımsızlık (mutual independence)
- Olayların her alt kümesinin kesişim olasılığının tekil olasılıkların çarpımına eşit olması.
- Seri ve paralel sistem
- Seri: hepsi çalışmalı, $R=\prod r_i$. Paralel: en az biri çalışmalı, $R=1-\prod(1-r_i)$.
- Sistem güvenilirliği (reliability)
- Bir sistemin görevi başarıyla yapma olasılığı; bağımsız bileşenlerden çarpım kuralıyla hesaplanır.
- Kumarbaz yanılgısı (gambler's fallacy)
- Bağımsız denemelerde geçmiş sonuçların gelecek olasılığı değiştirdiği yanlış inancı.
- Koşullu bağımsızlık
- $C$ verildiğinde $P(A\cap B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)$; koşulsuz bağımsızlıktan ayrı bir kavramdır.
Örnek soru
$A$ ve $B$ bağımsız olaylar, $P(A)=0{,}3$ ve $P(B)=0{,}4$ ise $P(A\cup B)$ kaçtır?
- 0,12
- 0,70
- 0,42
- 0,28
- 0,58
Doğru cevap: E
Çözüm
1. Bağımsızlıkta $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}3\cdot0{,}4=0{,}12$.
2. Toplama kuralı: $P(A\cup B)=0{,}3+0{,}4-0{,}12=0{,}58$.
3. Kontrol: $1-P(A')P(B')=1-0{,}7\cdot0{,}6=0{,}58$.
Cevap: 0,58. $0{,}12$ yalnız kesişimdir. $0{,}70$ ayrık olaylar için geçerli toplamdır. $0{,}42=P(A')P(B')$ ve $0{,}28=P(A')P(B)$ ise farklı bölgelerin olasılıklarıdır.