İstatistik ve Olasılık · 2. Ünite: Olasılık Kuramı
Bayes Teoremi (Bayes' Theorem)
Bir tıbbi test hastalığı %95 doğrulukla yakalıyorsa pozitif çıkan kişinin %95 hasta olduğunu düşünmek çok doğal görünür, ama çoğu zaman yanlıştır. Bayes teoremi, "hastaysa test pozitiftir" bilgisini "test pozitifse hastadır" bilgisine çevirir ve bunu yaparken hastalığın ne kadar yaygın olduğunu hesaba katar. Konunun sonunda toplam olasılık teoremini kullanarak Bayes formülünü türetebilecek, ön ve sonsel (prior ve posterior) olasılıkları ayırt edebilecek, tanı testlerinin duyarlılık, özgüllük ve öngörü değerlerini yorumlayabilecek, birden çok hipotezli (fabrika) problemleri çözebilecek ve temel oran yanılgısından kaçınabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Çarpım kuralı ile toplam olasılık teoreminden Bayes formülünü $P(B_r\mid A)=\dfrac{P(B_r)P(A\mid B_r)}{\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i)}$ adım adım türetir.
- Bir tanı testinde yaygınlık, duyarlılık ve özgüllükten pozitif öngörü değerini $P(H\mid +)$, negatif öngörü değerini $P(H'\mid -)$ ve $P(+)$ olasılığını hesaplar; sonuçları 1000 kişilik doğal frekans tablosuyla doğrular.
- Üç ya da daha çok hipotezli problemlerde (fabrika, kutu, kaynak belirleme) ön olasılıkları, olabilirlikleri ve sonsel olasılıkları tablo biçiminde düzenleyerek hesaplar.
- Bayes formülünü olasılık oranı (odds) ve olabilirlik oranı (likelihood ratio) biçiminde yazar ve koşullu bağımsız ardışık testlerde güncellemeyi uygular.
- $P(A\mid B)$ ile $P(B\mid A)$ karıştırılan yanılgıları (temel oran yanılgısı, savcı yanılgısı) tanır ve örneklerle düzeltir.
- Monty Hall gibi sezgiye aykırı problemleri Bayes teoremi ya da örneklem uzayı sayımıyla çözer ve sınır durumlarda ($P(H)=0$, $P(H)=1$, özgüllük $=1$) formülün davranışını yorumlar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Pozitif Test Ne Kadar Güvenilir?
Toplam Olasılık ve Bayes Teoremi
Çok Hipotezli Problemler ve Sınır Durumları
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Bayes teoremi (Bayes' rule)
- $P(B_r\mid A)=P(B_r)P(A\mid B_r)/\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i)$; koşulun yönünü tersine çevirir.
- Önsel olasılık (prior)
- Gözlemden önce hipoteze atanan olasılık; temel oran.
- Sonsel olasılık (posterior)
- Gözlem alındıktan sonra güncellenen olasılık $P(B_r\mid A)$.
- Olabilirlik (likelihood)
- Hipotez doğruyken gözlemin olasılığı $P(A\mid B_r)$.
- Duyarlılık (sensitivity)
- Hastayı doğru yakalama olasılığı $P(+\mid H)$.
- Özgüllük (specificity)
- Sağlamı doğru eleme olasılığı $P(-\mid H')$; yanlış pozitif oranı $1-$özgüllük.
- Pozitif öngörü değeri (PPV)
- Pozitif sonucun gerçekten hasta olma olasılığı $P(H\mid +)$; yaygınlığa bağlıdır.
- Olabilirlik oranı (likelihood ratio)
- $LR^+=P(+\mid H)/P(+\mid H')$; sonsel odds = önsel odds $\times LR$.
- Temel oran yanılgısı (base rate fallacy)
- Önsel olasılığı (yaygınlığı) yok sayıp yalnız test doğruluğuna göre karar verme hatası.
- Savcı yanılgısı (prosecutor's fallacy)
- $P(\text{kanıt}\mid\text{masum})$ ile $P(\text{masum}\mid\text{kanıt})$'ı karıştırma hatası.
Örnek soru
Bir hastalığın yaygınlığı %1, testin duyarlılığı %95 ve özgüllüğü %90'dır. Rasgele seçilen bir kişinin testinin pozitif çıkma olasılığı $P(+)$ kaçtır?
- 0,0095
- 0,1085
- 0,0990
- 0,9500
- 0,1000
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Toplam olasılık teoremi: $P(+)=P(+\mid H)P(H)+P(+\mid H')P(H')$.
2. Hasta ve pozitif: $0{,}95\cdot0{,}01=0{,}0095$. Sağlam ve pozitif: $(1-0{,}90)\cdot0{,}99=0{,}099$.
3. $P(+)=0{,}0095+0{,}099=0{,}1085$.
Cevap: 0,1085. $0{,}0095$ yalnız gerçek pozitiflerin (hasta kolunun), $0{,}0990$ ise yalnız yanlış pozitiflerin olasılığıdır; $0{,}95$ duyarlılık, $0{,}10$ ise yanlış pozitif oranıdır.