İstatistik ve Olasılık · 2. Ünite: Olasılık Kuramı

Koşullu Olasılık (Conditional Probability)

Yeni bir bilgi öğrendiğimizde olasılıklarımızı güncelleriz: bir zarın "çift" geldiğini bilirsek 6 gelme olasılığı $1/6$'dan $1/3$'e çıkar. Koşullu olasılık, bu güncellemenin matematiksel kuralıdır ve çarpım kuralı, toplam olasılık teoremi, bağımsızlık ve Bayes teoremi bunun üzerine kurulur. Konunun sonunda koşullu olasılığı örneklem uzayının daralması olarak yorumlayabilecek, ağaç diyagramı ve ikili tablolarla hesaplayabilecek, zincir kuralını ve toplam olasılık teoremini uygulayabilecek ve $P(A\mid B)$ ile $P(B\mid A)$'yı karıştırma hatasından kaçınabileceksin.

Öğrenme hedefleri

• $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ tanımını örneklem uzayının $B$'ye daralması olarak yorumlar ve eşit olasılıklı uzayda $n(A\cap B)/n(B)$ ile hesaplar.
• Koşullu olasılığın üç olasılık aksiyomunu sağladığını ispatlar ve tümleyen kuralının koşullu biçimini ($P(A'\mid B)=1-P(A\mid B)$) yazar; $P(A\mid B')$ ile karıştırılmaması gerektiğini örnekle gösterir.
• Çarpım kuralını $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$ ve zincir kuralını üç ve daha çok olay için uygular; yerine koymadan çekilişlerde olasılık hesaplar.
• Ağaç diyagramı ve ikili (iki yönlü) olasılık tablosundan koşullu, ortak ve marjinal olasılıkları okur.
• Toplam olasılık teoremini $P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)$ bir bölüntü üzerinde kurar ve uygular.
• $P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$ olduğunu bir sayısal örnekle gösterir; iki çocuk problemi gibi koşulun tanımına duyarlı problemleri doğru örneklem uzayıyla çözer.

Konu anlatımı

1. Motivasyon: Bilgi Olasılığı Değiştirir

2. Koşullu Olasılık Bir Olasılık Ölçüsüdür

3. Çarpım Kuralı, Zincir Kuralı ve Ağaç Diyagramı

4. Çözümlü Örnekler

5. Sınır Durumları ve Tablo Okuma

6. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Koşullu olasılık (conditional probability)

$B$ bilindiğinde $A$'nın olasılığı: $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$, $P(B)>0$.

Örneklem uzayının daralması

$B$ bilindiğinde olası sonuçlar kümesi $S$'den $B$'ye iner; olasılıklar $P(B)$'ye göre yeniden ölçeklenir.

Çarpım kuralı (multiplication rule)

$P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)=P(A)P(B\mid A)$.

Zincir kuralı (chain rule)

Çok olaylı kesişim olasılığı, art arda koşullu olasılıkların çarpımıdır.

Toplam olasılık teoremi

Bir bölüntü $B_i$ için $P(A)=\sum P(B_i)P(A\mid B_i)$.

Ağaç diyagramı (tree diagram)

Aşamalı deneyin dallarında koşullu olasılıkları, yapraklarında ortak olasılıkları gösteren şema.

İkili olasılık tablosu

İki olayın dört bölgesinin ortak olasılıklarını ve satır-sütun toplamı olan marjinalleri veren tablo.

Marjinal olasılık

Tablo kenarındaki toplam olasılıklar: $P(A)$ ve $P(B)$.

Yön hatası (transposed conditional)

$P(A\mid B)$ ile $P(B\mid A)$'yı karıştırma yanılgısı; paydaları farklıdır.

Örnek soru

$P(B)=0{,}4$ ve $P(A\cap B)=0{,}12$ ise $P(A\mid B)$ kaçtır?

1. 0,048
2. 0,30
3. 0,52
4. 0,12
5. 0,70

Doğru cevap: B

Çözüm

1. Tanım: $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
2. $P(A\mid B)=\dfrac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}30$.
Cevap: 0,30. $0{,}048=0{,}12\cdot0{,}4$ bölmek yerine çarpmaktan gelir. $0{,}12$ ortak olasılığın kendisidir; $0{,}52$ toplama, $0{,}70$ ise tümleyen $1-P(A\mid B)=P(A'\mid B)$ değeridir.

İstatistik ve Olasılık: tüm konular