İstatistik ve Olasılık · 3. Ünite: Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları
Kesikli (Ayrık) Rastgele Değişkenler
Bir parti üründeki kusurlu parça sayısı, bir zarın iki atışındaki en büyük değer, bir santrale dakikada gelen çağrı sayısı: bunların hepsinde deneyin sonucu bir sayıya dönüştürülür ve olasılık hesabı bu sayı üzerinden yürütülür. Rastgele değişken (random variable) kavramı, örnek uzayın soyut sonuçlarını sayılara taşıyarak olasılığı cebirin ve analizin diline çevirir. Konunun sonunda kesikli bir rastgele değişkeni tanımlayabilecek, olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) ve birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) kurup birbirine dönüştürebilecek, bu iki fonksiyondan her türlü aralık olasılığını okuyabilecek ve bir rastgele değişkenin fonksiyonunun dağılımını bulabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Bir rastgele deneyde sonuçları sayıya taşıyan rastgele değişkeni tanımlar, desteğini (support) yazar ve değişkenin kesikli mi sürekli mi olduğunu gerekçelendirir.
- Bir fonksiyonun geçerli bir olasılık kütle fonksiyonu olması için gereken iki koşulu ($f(x) \ge 0$ ve $\sum f(x) = 1$) sınar ve eksik sabiti ya da eksik olasılığı bulur.
- Sonlu ve sonsuz (sayılabilir) destekli dağılımlarda PMF'yi kurar; teleskopik ve geometrik toplamları kullanarak normalizasyon sabitini hesaplar.
- PMF'den CDF'yi oluşturur, CDF'nin basamak yapısını ve sağdan sürekliliğini açıklar; $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a^-)$ bağıntısıyla aralık olasılıklarını hesaplar.
- CDF tablosundan ya da grafiğinden PMF'yi geri kazanır ve $P(X < x)$ ile $P(X \le x)$ arasındaki farkı basamak yüksekliğiyle ilişkilendirir.
- $Y = g(X)$ dönüşümünün PMF'sini, aynı $y$ değerine giden $x$ değerlerinin olasılıklarını toplayarak elde eder.
Konu anlatımı
Rastgele Değişken: Sonuçlardan Sayılara
Olasılık Kütle Fonksiyonu (PMF)
Birikimli Dağılım Fonksiyonu (CDF)
Çözümlü Örnekler
Dönüşümler ve Sınır Durumları
Tablo Okuma ve Simülasyonla Keşif
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Rastgele değişken (random variable)
- Örnek uzaydaki her sonuca bir gerçel sayı karşılık getiren $X: S \to \mathbb{R}$ fonksiyonu.
- Kesikli rastgele değişken (discrete random variable)
- Alabileceği değerler kümesi sonlu ya da sayılabilir sonsuz olan rastgele değişken.
- Destek (support)
- $X$'in sıfırdan büyük olasılıkla alabileceği değerler kümesi.
- Olasılık kütle fonksiyonu (PMF)
- $f(x) = P(X = x)$; $f(x) \ge 0$ ve $\sum f(x) = 1$ koşullarını sağlar.
- Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF)
- $F(x) = P(X \le x)$; tüm gerçel doğruda tanımlı, azalmayan, sağdan sürekli basamak fonksiyonu.
- Basamak (sıçrama)
- CDF'nin $x_i$ noktasındaki sıçrama yüksekliği $f(x_i)$'ye eşittir.
- Normalizasyon sabiti (normalizing constant)
- $f(x) = c\,s(x)$ biçimindeki bir fonksiyonu PMF yapan $c = 1/\sum s(x)$ değeri.
- Dönüşüm $Y = g(X)$
- $Y$'nin PMF'si, $g(x) = y$ olan tüm $x$'lerin olasılıklarının toplamıdır.
Örnek soru
Aşağıdaki rastgele değişkenlerden hangisi kesiktir (discrete)?
- Bir ampulün çalışma süresi (saat)
- Rastgele seçilen bir öğrencinin boyu (cm)
- Bir otomobilin 100 km'de tükettiği yakıt miktarı (litre)
- Bir kavşaktan bir saatte geçen araç sayısı
- Bir telin ölçülen direnci (ohm)
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Kesikli rastgele değişken, sonlu ya da sayılabilir sonsuz sayıda değer alır ($0, 1, 2, \dots$).
2. Araç sayısı sayma ile elde edilir ve yalnızca tam sayı değerleri alır.
3. Süre, boy, yakıt miktarı ve direnç ölçme ile elde edilir; bir aralıktaki her değeri alabilir (sürekli).
Cevap: D. Ölçümü kaydederken yuvarlıyor olmak (ör. boyu cm cinsinden tam sayıya çevirmek) altta yatan büyüklüğü kesikli yapmaz; ayrım değişkenin doğasına bakılarak yapılır.