İstatistik ve Olasılık · 3. Ünite: Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları

Beklenen Değer (Expected Value) ve Varyans

Bir dağılımı tek sayıyla özetlemek gerekirse ilk akla gelen, uzun vadede ortalama ne olacağıdır: beklenen değer (expected value). İkinci soru, değerlerin bu ortalama etrafında ne kadar yayıldığıdır: varyans (variance). Sigorta primlerinden kalite kontrole, yatırım riskinden ölçüm hatasına kadar karar problemlerinin çoğu bu iki sayıya dayanır. Konunun sonunda $E[X]$, $E[g(X)]$ ve $\mathrm{Var}(X)$'i kesikli ve sürekli durumda hesaplayabilecek, doğrusal dönüşümlerin etkisini türetebilecek ve Chebyshev eşitsizliğiyle dağılım bilinmeden olasılık sınırı verebileceksin.

Öğrenme hedefleri

• Kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin beklenen değerini $E[X] = \sum x f(x)$ ve $E[X] = \int x f(x)\,dx$ ile hesaplar ve kütle merkezi (denge noktası) olarak yorumlar.
• $E[g(X)] = \sum g(x)f(x)$ kuralını kullanır; $E[g(X)] \ne g(E[X])$ olabileceğini bir sayısal örnekle gösterir.
• Doğrusallığı $E[aX + b] = aE[X] + b$, $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ biçiminde uygular ve türetir.
• Varyansı $\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ hesaplama formülüyle bulur; $\mathrm{Var}(aX + b) = a^2 \mathrm{Var}(X)$ sonucunu türetir ve $b$'nin varyansı etkilemediğini açıklar.
• Bağımsız değişkenlerin doğrusal birleşiminde $\mathrm{Var}(aX + bY) = a^2\mathrm{Var}(X) + b^2\mathrm{Var}(Y)$ kuralını uygular.
• Chebyshev eşitsizliği $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - 1/k^2$'yi ispatlar ve verilen $\mu, \sigma$ ile olasılık için alt sınır hesaplar.

Konu anlatımı

1. Motivasyon: Uzun Vadede Ortalama ve Yayılım

2. Beklenen Değer

3. Varyans ve Standart Sapma

4. Chebyshev Eşitsizliği

5. Çözümlü Örnekler

6. Sınır Durumları ve İnce Noktalar

7. Tablo Okuma ve Simülasyonla Keşif

8. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Beklenen değer (expected value)

$E[X] = \sum x f(x)$ ya da $\int x f(x)\,dx$; dağılımın kütle merkezi, uzun vadeli ortalama.

Varyans (variance)

$\mathrm{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2$; ortalama etrafındaki yayılımın ölçüsü.

Standart sapma (standard deviation)

$\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$; $X$ ile aynı birimde yayılım ölçüsü.

Doğrusallık

$E[aX + b] = aE[X] + b$ ve $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$; bağımsızlık gerektirmez.

Varyansın ölçekleme kuralı

$\mathrm{Var}(aX + b) = a^2\mathrm{Var}(X)$; $b$ etkisizdir.

Chebyshev eşitsizliği

$P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - 1/k^2$; dağılımdan bağımsız alt sınır.

$E[g(X)]$ (LOTUS)

$\sum g(x)f(x)$; $Y = g(X)$'in dağılımını bulmadan beklenen değer.

Örnek soru

$X$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir.
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
$E[X]$ kaçtır?

1. $1{,}5$
2. $2{,}0$
3. $1{,}6$
4. $1{,}8$
5. $1{,}7$

Doğru cevap: E

Çözüm

1. $E[X] = \sum x f(x)$.
2. $E[X] = 0(0{,}1) + 1(0{,}3) + 2(0{,}4) + 3(0{,}2) = 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}6$.
3. $E[X] = \mathbf{1{,}7}$.
Cevap: E. A seçeneği değerlerin sade ortalamasıdır ($\tfrac{0 + 1 + 2 + 3}{4}$), olasılık ağırlıklarını yok sayar; B seçeneği en olası değerdir (mod), ortalama değil.

İstatistik ve Olasılık: tüm konular