İstatistik ve Olasılık · 3. Ünite: Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları

Kovaryans ve Korelasyon

Boy ile kilo birlikte artar, bir malın fiyatı yükseldikçe talebi düşer, bir hisse senedi ile bir tahvil zıt yönde hareket edebilir. İki rastgele değişkenin birlikte nasıl değiştiğini ölçen büyüklük kovaryans (covariance), onun ölçekten bağımsız hâli korelasyon katsayısıdır (correlation coefficient). Konunun sonunda kovaryansı tanımdan ve $E[XY] - E[X]E[Y]$ formülünden hesaplayabilecek, $\rho$'nun $[-1, 1]$ aralığında olduğunu ispatlayabilecek, toplam ve farkın varyansında kovaryansın rolünü kurabilecek ve bağımsızlık, ilişkisizlik ve nedensellik arasındaki farkı örneklerle açıklayabileceksin.

Öğrenme hedefleri

• Kovaryansı $\sigma_{XY} = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]$ tanımından ve $E[XY] - E[X]E[Y]$ hesaplama formülünden bulur; ortak PMF tablosundan ve ortak yoğunluktan sayısal değer hesaplar.
• $\mathrm{Cov}(aX + b, cY + d) = ac\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ özelliğini türetir ve ölçek değişiminde kovaryansın değiştiğini, korelasyonun değişmediğini gösterir.
• $\mathrm{Var}(aX + bY) = a^2\mathrm{Var}(X) + b^2\mathrm{Var}(Y) + 2ab\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ formülünü türetir ve uygular.
• $\rho = \mathrm{Cov}(X, Y)/(\sigma_X\sigma_Y)$ katsayısını hesaplar, $|\rho| \le 1$ eşitsizliğini standartlaştırma yoluyla ispatlar ve $\rho = \pm 1$ durumunun doğrusal ilişkiye karşılık geldiğini açıklar.
• Bağımsızlığın $\mathrm{Cov} = 0$ gerektirdiğini türetir; tersinin yanlış olduğunu $Y = X^2$ örneğiyle gösterir ve korelasyonun yalnızca doğrusal ilişkiyi ölçtüğünü açıklar.
• Örnek kovaryansı $\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ ve örnek korelasyonu $r$'yi hesaplar; tek bir aykırı noktanın $r$'yi nasıl değiştirdiğini ve korelasyonun nedensellik anlamına gelmediğini gerekçelendirir.

Konu anlatımı

1. Motivasyon: Birlikte Değişimi Ölçmek

2. Kovaryans: Tanım, Hesaplama ve Özellikler

3. Korelasyon Katsayısı

4. Bağımsızlık, İlişkisizlik ve Nedensellik

5. Örnek Kovaryans ve Örnek Korelasyon

6. Çözümlü Örnekler

7. Sınır Durumları ve İnce Noktalar

8. Tablo Okuma ve Simülasyonla Keşif

9. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Kovaryans (covariance)

$\mathrm{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] = E[XY] - E[X]E[Y]$; doğrusal birlikte değişimin ölçüsü, ölçeğe bağlıdır.

Korelasyon katsayısı (correlation coefficient)

$\rho = \mathrm{Cov}(X, Y)/(\sigma_X\sigma_Y) \in [-1, 1]$; birimsiz, doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü gösterir.

İlişkisiz (uncorrelated)

$\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$; bağımsızlıktan türetilebilir ama bağımsızlığı gerektirmez.

Örnek kovaryansı

$s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$; $n$ çift gözlemden hesaplanır.

Örnek korelasyonu $r$

$r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$; $n-1$ sadeleştiği için bölen seçiminden bağımsızdır.

Toplamın varyansı

$\mathrm{Var}(aX + bY) = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\,\sigma_{XY}$.

Gizli değişken (confounder)

$X$ ve $Y$'yi birlikte etkileyerek aralarında nedensellik olmadan korelasyon oluşturabilen üçüncü değişken.

Örnek soru

$E[XY] = 8$, $E[X] = 2$ ve $E[Y] = 3$ olduğuna göre $\mathrm{Cov}(X, Y)$ kaçtır?

1. $6$
2. $0$
3. $2$
4. $14$
5. $-2$

Doğru cevap: C

Çözüm

1. Hesaplama formülü: $\mathrm{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$.
2. $E[X]E[Y] = 2 \cdot 3 = 6$.
3. $\mathrm{Cov}(X, Y) = 8 - 6 = \mathbf{2}$.
Cevap: C. A seçeneği yalnızca $E[X]E[Y]$'dir (bağımsızlık varsayılsaydı $E[XY]$ bu olurdu ve Cov $0$ çıkardı); D seçeneği $E[XY] + E[X]E[Y]$ ile işareti ters kurar; E seçeneği çıkarmayı ters yönde yapar.

İstatistik ve Olasılık: tüm konular