İstatistik ve Olasılık · 3. Ünite: Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları
Ortak Olasılık Dağılımları (Joint Distributions)
Gerçek problemlerde tek bir büyüklük nadiren yeterlidir: bir çeliğin sertliği ile çekme dayanımı, bir hastanın boyu ile kilosu, bir parti üründeki iki farklı kusur türü birlikte ele alınır. İki rastgele değişkenin birlikte davranışını, ortak olasılık dağılımı (joint distribution) tanımlar. Konunun sonunda ortak PMF ve PDF'nin koşullarını sınayabilecek, marjinal (marginal) ve koşullu (conditional) dağılımları türetebilecek ve $f(x,y) = g(x)h(y)$ koşuluyla bağımsızlığı sınayabilecek, bağımsızlığın neden yalnızca marjinallere bakarak anlaşılamayacağını açıklayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Kesikli $(X, Y)$ için ortak PMF $f(x, y) = P(X = x, Y = y)$'nin koşullarını ($f \ge 0$, $\sum\sum f = 1$) sınar, eksik hücreyi bulur ve $P((X, Y) \in A)$ olasılıklarını hesaplar.
- Ortak dağılımdan satır ve sütun toplamlarıyla marjinal dağılımları $g(x) = \sum_y f(x, y)$ ve $h(y) = \sum_x f(x, y)$ elde eder; sürekli durumda aynı işlemi integralle yapar.
- Koşullu dağılımı $f(y \mid x) = f(x, y)/g(x)$ biçiminde hesaplar ve koşullu olasılıkların toplamının (ya da integralinin) 1 olduğunu gösterir.
- $f(x, y) = g(x)h(y)$ koşuluyla istatistiksel bağımsızlığı sınar; tek bir hücrenin farkının bağımlılığı yeterince kanıtladığını, ama bağımsızlığın tüm hücrelerin sağlanmasını gerektirdiğini gösterir.
- Sürekli ortak yoğunlukta $P(a < X < b, c < Y < d)$'yi iki katlı integralle hesaplar ve desteğin dikdörtgen olmamasının bağımsızlığı bozduğunu gösterir.
- Aynı marjinallere sahip farklı ortak dağılımlar kurar ve marjinallerin ortak dağılımı belirlemediğini bir örnekle açıklar.
Konu anlatımı
Motivasyon: İki Değişkeni Birlikte Düşünmek
Kesikli Ortak PMF ve Marjinal Dağılımlar
Koşullu Dağılım ve Bağımsızlık
Sürekli Ortak Dağılımlar
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve İnce Noktalar
Tablo Okuma ve Simülasyonla Keşif
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Ortak PMF (joint PMF)
- $f(x, y) = P(X = x, Y = y)$; $f \ge 0$ ve tüm hücrelerin toplamı 1.
- Ortak PDF (joint PDF)
- $P((X, Y) \in A) = \iint_A f$ olan, $f \ge 0$ ve toplam hacmi 1 olan fonksiyon.
- Marjinal dağılım (marginal distribution)
- Ortak dağılımı diğer değişken üzerinden toplayarak ya da integre ederek elde edilen tek değişkenli dağılım: $g(x), h(y)$.
- Koşullu dağılım (conditional distribution)
- $f(y \mid x) = f(x, y)/g(x)$; $X = x$ bilindiğinde $Y$'nin yeniden normalize edilmiş dağılımı.
- İstatistiksel bağımsızlık
- Tüm $(x, y)$ için $f(x, y) = g(x)h(y)$; eşdeğeri $f(y \mid x) = h(y)$.
- Dikdörtgen destek
- Sürekli ortak yoğunlukta bağımsızlık için gerekli koşul: $f$'nin sıfırdan farklı olduğu bölge $a < x < b$, $c < y < d$ biçiminde olmalıdır.
- Marjinal toplam (margin)
- Tablonun kenarındaki satır ve sütun toplamları.
Örnek soru
$X$ ve $Y$ kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık kütle fonksiyonu $f(x, y) = c\,(x + y)$, $x = 0, 1, 2$ ve $y = 0, 1, 2$ (diğer değerlerde $0$) ile veriliyor. $c$ sabiti kaçtır?
- $\dfrac{1}{9}$
- $\dfrac{1}{18}$
- $\dfrac{1}{12}$
- $\dfrac{1}{6}$
- $\dfrac{1}{36}$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Koşul: $\sum_x\sum_y f(x, y) = 1$.
2. Dokuz hücrenin $x + y$ toplamı: her $x$ değeri üç kez, her $y$ değeri üç kez görünür: $3(0 + 1 + 2) + 3(0 + 1 + 2) = 9 + 9 = 18$.
3. $18c = 1 \Rightarrow c = \dfrac{1}{18}$.
Cevap: B. A seçeneği yalnızca $x$ değerlerinden gelen $9$'u toplar ($y$ katkısını unutur); E seçeneği toplamı $36$ sayar (her hücreyi iki kez saymak).