İstatistik ve Olasılık · 4. Ünite: Özel Kesikli Olasılık Dağılımları
Binom ve Multinom Dağılımları
Bir parça defolu mu, bir hasta iyileşti mi, bir anket katılımcısı "evet" dedi mi: iki sonuçlu bağımsız denemelerin sayıldığı her yerde binom dağılımı ortaya çıkar. Sonuç ikiden fazlaysa (ör. üç ödeme türü, üç genotip) aynı mantık multinom dağılıma genişler. Konunun sonunda bir deneyin binom koşullarını sağlayıp sağlamadığını sınayacak, kütle fonksiyonunu ve $E[X] = np$, $\mathrm{Var}(X) = npq$ sonuçlarını türetecek, tablo ve normal yaklaşımla olasılık hesaplayacak, multinom olasılıkları ile kovaryanslarını bulacak ve bağımsızlık varsayımının nerede bozulduğunu fark edeceksin.
Öğrenme hedefleri
- Bir Bernoulli deneyinin dört koşulunu (iki sonuç, sabit $p$, bağımsızlık, sabit $n$) verilen durumlara uygulayarak binom modelinin uygunluğunu gerekçelendirir.
- $b(x;n,p) = \binom{n}{x}p^x q^{n-x}$ kütle fonksiyonunu kombinasyon sayma yoluyla türetir; $P(X = x)$, $P(X \ge x)$ ve $P(a \le X \le b)$ olasılıklarını doğrudan ve birikimli tablodan hesaplar.
- $E[X] = np$ ve $\mathrm{Var}(X) = npq$ sonuçlarını Bernoulli değişkenlerinin toplamı olarak türetir; modu ($\lfloor (n+1)p \rfloor$) bulur.
- Multinom olasılığını $\dfrac{n!}{x_1!\cdots x_k!}p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}$ ile hesaplar; marjinallerin binom olduğunu ve $\mathrm{Cov}(X_i, X_j) = -np_ip_j$ olduğunu yorumlar.
- $np$ ve $nq$ büyükken normal yaklaşımı süreklilik düzeltmesiyle ($\pm 0{,}5$) uygular ve yaklaşımın ne zaman kötüleştiğini açıklar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Bernoulli Denemeleri
Binom Kütle Fonksiyonunun Türetilmesi
Ortalama, Varyans ve Mod
Çözümlü Örnekler (Binom)
Multinom Dağılım
Sınır Durumları ve Sık Yapılan Hatalar
Anahtar terimler
- Bernoulli denemesi (Bernoulli trial)
- Sonucu başarı ($p$) ya da başarısızlık ($q = 1 - p$) olan tek bir deneme.
- Binom dağılımı (binomial distribution)
- $n$ bağımsız Bernoulli denemesindeki başarı sayısının $b(x;n,p) = \binom{n}{x}p^x q^{n-x}$ dağılımı.
- Birikimli binom olasılığı
- $B(r;n,p) = P(X \le r)$; tablolar bu değerleri verir, $P(X = x) = B(x) - B(x-1)$.
- Mod (mode)
- En yüksek olasılıklı değer; binomda $\lfloor (n+1)p \rfloor$ ($(n+1)p$ tamsayı ise iki mod).
- Süreklilik düzeltmesi (continuity correction)
- Kesikli bir değişkeni normalle yakınsarken sınırlara $\pm 0{,}5$ eklenmesi.
- Multinom dağılım (multinomial distribution)
- Her denemenin $k$ kategoriden birine düştüğü $n$ bağımsız denemede kategori sayılarının ortak dağılımı.
- Çok terimli katsayı (multinomial coefficient)
- $\dfrac{n!}{x_1!\cdots x_k!}$; $n$ nesneyi $k$ gruba belirli sayılarla bölmenin yolu sayısı.
- Kovaryans (covariance)
- İki değişkenin birlikte değişimini ölçer; multinomda $\mathrm{Cov}(X_i, X_j) = -np_ip_j$ (negatif).
Örnek soru
$8$ soruluk bir testte her soru $5$ seçeneklidir ve bir öğrenci tüm soruları rastgele işaretlemektedir. Tam olarak $2$ soruyu doğru yapma olasılığı kaçtır?
- $0{,}0105$
- $0{,}2936$
- $0{,}7168$
- $0{,}3355$
- $0{,}7969$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $X \sim B(8;\,0{,}2)$: $n = 8$, $p = 1/5 = 0{,}2$, $q = 0{,}8$.
2. $P(X = 2) = \binom{8}{2}(0{,}2)^2(0{,}8)^6 = 28 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}262144 = 0{,}2936$.
Cevap: B. $0{,}0105$ kombinasyon çarpanı $\binom{8}{2} = 28$'i unutmaktır. $0{,}7168$ üssü yanlış almaktır ($q^2$ yerine $q^6$ gerekir). $0{,}3355$ tam $1$ doğrunun, $0{,}7969$ ise en çok $2$ doğrunun ($P(X \le 2)$) olasılığıdır.