İstatistik ve Olasılık · 4. Ünite: Özel Kesikli Olasılık Dağılımları
Hipergeometrik Dağılım
Bir partiden iadesiz küçük bir örneklem çekip defolu parça sayan bir kalite mühendisi, bir göldeki balık sayısını işaretleme yoluyla kestirmeye çalışan bir biyolog ya da piyango kuponundaki tutan sayıyı merak eden bir oyuncu aynı modeli kullanır: sınırlı bir topluluktan iadesiz çekiliş. Bu konuda bu modelin kütle fonksiyonunu sayma ilkesiyle türetecek, ortalama ve varyansı (sonlu popülasyon düzeltmesiyle) bulacak, iadesiz ile iadeli çekilişi karşılaştıracak ve binom yaklaşımının ne zaman güvenle kullanılabileceğini ölçülü biçimde söyleyebileceksin.
Öğrenme hedefleri
- İadesiz çekilişle oluşan bir deneyi hipergeometrik model olarak kurar; $N$, $K$, $n$ parametrelerini ve rastgele değişkenin alabileceği değer aralığını $\max(0, n-N+K) \le x \le \min(n, K)$ olarak belirler.
- $h(x;N,n,K) = \binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}\Big/\binom{N}{n}$ kütle fonksiyonunu sayma ilkesiyle türetir ve toplamının 1 olduğunu Vandermonde özdeşliğiyle gösterir.
- $E[X] = nK/N$ ve $\mathrm{Var}(X) = n\dfrac{K}{N}\left(1 - \dfrac{K}{N}\right)\dfrac{N-n}{N-1}$ sonuçlarını gösterge değişkenleri ve kovaryans ile türetir.
- İadesiz (hipergeometrik) ile iadeli (binom) çekilişi ortalama ve varyans düzeyinde karşılaştırır; $n/N < 0{,}05$ kuralıyla binom yaklaşımını uygular ve hatasını yorumlar.
- Çok kategorili hipergeometrik olasılığı hesaplar ve işaretleme–yeniden yakalama (capture–recapture) verisinden $N$'yi $\hat{N} = nK/x$ ile kestirir.
Konu anlatımı
Motivasyon: İadesiz Çekilişin Matematiği
Kütle Fonksiyonunun Türetilmesi
Ortalama ve Varyans
İadeli – İadesiz Karşılaştırması ve Binom Yaklaşımı
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Sık Yapılan Hatalar
Anahtar terimler
- Hipergeometrik dağılım (hypergeometric distribution)
- $N$ birimlik popülasyondan, $K$ başarılı birim varken iadesiz $n$ birim çekildiğinde başarı sayısının dağılımı.
- İadesiz çekiliş (sampling without replacement)
- Seçilen birimin popülasyona geri konmadığı çekiliş; denemeler bağımsız değildir.
- Sonlu popülasyon düzeltmesi
- Varyansa gelen $(N-n)/(N-1)$ çarpanı; iadesiz çekilişin binom varyansından küçük çıkmasını açıklar.
- Gösterge değişkeni (indicator variable)
- Bir olay gerçekleştiyse $1$, aksi hâlde $0$ olan değişken; toplamlar için beklenti hesabını kolaylaştırır.
- Vandermonde özdeşliği
- $\sum_x\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x} = \binom{N}{n}$; hipergeometrik toplamın $1$ olduğunu gösterir.
- Binom yaklaşımı
- $n/N < 0{,}05$ iken $h(x;N,n,K) \approx b(x;n,K/N)$ yaklaşımı.
- İşaretle–yeniden yakala (capture–recapture)
- İşaretli birim oranından popülasyon büyüklüğünü kestiren yöntem: $\hat{N} = nK/x$.
- Çok kategorili hipergeometrik dağılım
- Popülasyon $k$ sınıfa ayrıldığında, örneklemdeki sınıf sayılarının ortak dağılımı: $\prod\binom{a_i}{x_i}/\binom{N}{n}$.
Örnek soru
Aşağıdaki rastgele değişkenlerden hangisi hipergeometrik dağılıma uygundur?
- Hilesiz bir zarın $10$ atışında altı gelme sayısı
- Bir basketbolcunun bağımsız $8$ serbest atışındaki isabet sayısı
- Hilesiz bir paranın ilk turaya kadar atılma sayısı
- $20$ ürünlük ve $6$ tanesi defolu bir partiden iadesiz seçilen $5$ üründeki defolu sayısı
- Bir çağrı merkezine $1$ saatte gelen çağrı sayısı
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Hipergeometrik model, sonlu bir popülasyondan iadesiz çekilen örneklemde başarı sayısını sayar: $N$, $K$, $n$ sabittir.
2. D şıkkında $N = 20$, $K = 6$, $n = 5$ olup çekiliş iadesizdir: $X \sim H(20, 6, 5)$.
3. A ve B şıkları bağımsız denemelerin başarı sayısıdır (binom). C şıkkı ilk başarıya kadar geçen deneme sayısıdır (geometrik). E şıkkı bir aralıktaki olay sayısıdır (Poisson).
Cevap: D. En güçlü çeldirici B'dir; ama serbest atışlar sonlu bir popülasyondan "çekilmez", her atış aynı koşullarda tekrarlanır.