İstatistik ve Olasılık · 4. Ünite: Özel Kesikli Olasılık Dağılımları
Düzgün (Uniform) Kesikli Dağılım
Hilesiz bir zar, kapalı torbadan çekilen numaralı bilet ya da rastgele seçilen bir rakam: bütün bu deneylerde sonuçlar "eşit şansa" sahiptir. Düzgün kesikli dağılım, bu eşit şans ilkesini bir olasılık kütle fonksiyonuna dönüştüren en basit özel dağılımdır ve kesikli dağılımlar ailesinin başlangıç noktasıdır. Konunun sonunda bir deneyin düzgün modele uyup uymadığını gerekçelendirebilecek, ortalama ve varyans ifadelerini türetebilecek, eşit aralıklı olmayan değer kümeleri için de aynı hesabı yapabilecek, birikimli dağılımdan aralık olasılıkları okuyabilecek ve "iki zarın toplamı düzgündür" türü yaygın yanılgıları ayırt edebileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Bir deneyin sonuçlarının eşit olasılıklı olup olmadığına bakarak $f(x;k) = 1/k$ modelinin uygunluğunu gerekçelendirir ve kütle fonksiyonunun toplamının 1 olduğunu gösterir.
- $x = 1, 2, \dots, k$ için $E[X] = (k+1)/2$ ve $\mathrm{Var}(X) = (k^2-1)/12$ ifadelerini $\sum x$ ve $\sum x^2$ toplamlarından türetir.
- Eşit aralıklı ($x_1, x_1+d, \dots$) ya da aralıkları eşit olmayan değer kümeleri için ortalama ve varyansı hesaplar; $Y = a + bX$ dönüşümünde ortalama ve varyansın nasıl değiştiğini belirler.
- Birikimli dağılım fonksiyonunu ($F(x) = P(X \le x)$) yazar ve $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ ile aralık olasılıklarını sayarak hesaplar.
- $k = 1$, $k = 2$ ve $k \to \infty$ sınır durumlarını yorumlar; iki zarın toplamı gibi düzgün olmayan dağılımları düzgün sanmanın nedenini ve hatasını açıklar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Eşit Şans İlkesi
Ortalama ve Varyansın Türetilmesi
Birikimli Dağılım ve Aralık Olasılıkları
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Sürekli Düzgün Dağılıma Geçiş
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Düzgün kesikli dağılım (discrete uniform)
- $k$ farklı değerin her birini $1/k$ olasılıkla alan rastgele değişkenin dağılımı: $f(x;k) = 1/k$.
- Olasılık kütle fonksiyonu (pmf)
- Kesikli bir rastgele değişkenin her değeri alma olasılığını veren $f(x) = P(X = x)$ fonksiyonu; toplamı 1'dir.
- Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF)
- $F(x) = P(X \le x)$; kesikli durumda sağdan sürekli, basamaklı, azalmayan bir fonksiyondur.
- Beklenen değer (expected value)
- $E[X] = \sum x f(x)$; düzgün dağılımda değerlerin aritmetik ortalaması, $\{1,\dots,k\}$ için $(k+1)/2$.
- Varyans (variance)
- $\mathrm{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$; $\{1, \dots, k\}$ için $(k^2-1)/12$, eşit aralıklı $d$ için $d^2(k^2-1)/12$.
- Dejenere dağılım (degenerate)
- Tek bir değeri olasılık 1 ile alan dağılım ($k = 1$); varyansı sıfırdır.
- Doğrusal dönüşüm
- $Y = a + bX$ için $E[Y] = a + bE[X]$ ve $\mathrm{Var}(Y) = b^2 \mathrm{Var}(X)$; toplanan sabit varyansı değiştirmez.
- Tarafsız tahminci (unbiased estimator)
- Beklenen değeri tahmin edilen parametreye eşit olan tahminci; örnek: $E[2X - 1] = k$.
Örnek soru
Hilesiz bir zar atılıyor ve $X$ üst yüze gelen sayı olarak tanımlanıyor. $\mathrm{Var}(X)$ kaçtır?
- $3{,}00$
- $3{,}50$
- $35/12 \approx 2{,}92$
- $91/6 \approx 15{,}17$
- $35/6 \approx 5{,}83$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $X \sim U\{1, \dots, 6\}$, yani $k = 6$ ve olasılıklar $1/6$'dır.
2. $\mathrm{Var}(X) = \dfrac{k^2 - 1}{12} = \dfrac{36 - 1}{12} = \dfrac{35}{12} \approx 2{,}92$.
3. Kontrol: $E[X^2] = 91/6$ ve $E[X] = 3{,}5$ olduğundan $91/6 - 12{,}25 = 35/12$.
Cevap: C. $3{,}50$ ortalamadır, varyans değildir. $91/6$ ikinci momenttir ($E[X^2]$) ve ortalamanın karesi çıkarılmadan varyans sanılır. $3{,}00$ ise $k^2/12$ yazıp $-1$'i unutmaktan gelir.